Теорема Ройшле описывает свойства чевиан треугольника, пересекающихся в одной точке. Теорема названа именем немецкого математика Карла Густава Ройшле (1812—1875). Известна также как теорема Теркема по имени французского математика Олри Теркема (1782—1862), опубликовавшего её в 1842 году.

Утверждение теоремы

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ с тремя чевианами, пересекающимися в общей точке, отличной от вершин ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , обозначим ${\displaystyle P_{a}}$ , ${\displaystyle P_{b}}$ и ${\displaystyle P_{c}}$ пересечения продолженных сторон треугольника и чевиан. Окружность, проходящая через три точки ${\displaystyle P_{a}}$ , ${\displaystyle P_{b}}$ и ${\displaystyle P_{c}}$ пересекает продолжения сторон треугольника в точках ${\displaystyle P'_{a}}$ , ${\displaystyle P'_{b}}$ и ${\displaystyle P'_{c}}$ . Теорема Ройшле утверждает, что эти три новые чевианы ${\displaystyle AP'_{a}}$ , ${\displaystyle BP'_{b}}$ и ${\displaystyle CP'_{c}}$ пересекаются также в одной точке.

Частный случай. Пример теоремы Ройшле

• Для окружности девяти точек , которая, в числе прочих, носит и название «окружность Теркема», Теркем доказал теорему Теркема . Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Примечания

Литература

• Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. — Stuttgart, 1867 (reprint Wiesbaden 1973). — Т. I. — С. 125. — ISBN 3-500-26010-1 . (немецкий язык)
• M. D. Fox, J. R. Goggins. // The Mathematical Gazette. — 2007. — Т. 91 , № 520 . — С. 3—4 .

Ссылки

• at cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .