Лемма Веррьера — теорема в геометрии треугольника , связанная со свойствами описанной и окружностей треугольника.

Формулировка

Если окружность ω касается сторон AB,BC и дуги AC описанной окружности треугольника ABC, соответственно в точках C ₁ ,A ₁ ,B ₁ , то точки C ₁ ,I,A ₁ ,где I — инцентр треугольника ABC, коллинеарны .

Доказательство

Заметим, что по прямая B ₁ A ₁ проходит через середину дуги BC описанной окружности, не содержащей точку A . Аналогично, прямая B ₁ C ₁ проходит через середину дуги AB, не содержащей вершину C. Обозначим середины этих дуг через A ₀ , C ₀ соответственно. Из той же следует, что A ₀ B ² = A ₀ A ₁ · A ₀ B1. Следовательно, степень точки A ₀ одинакова относительно окружности ω и точки B. Аналогичное утверждение верно и для точки C ₀ . Из этого следует, что прямая A ₀ C ₀ — радикальная ось точки B и окружности ω. Поэтому прямая A ₀ C ₀ проходит через середины отрезков BA ₁ ,BC ₁ . Значит, прямая A ₀ C ₀ содержит среднюю линию FE треугольника C ₁ BA ₁ . Следовательно, образ точки B, при отражении точки B относительно прямой A ₀ C ₀ , лежит на прямой A ₁ C ₁ .

С другой стороны, по лемме о трезубце IC ₀ = BC ₀ и IA ₀ = BA ₀ . Поэтому точка B при отражении относительно прямой A ₀ C ₀ переходит в точку I. Откуда и следует, что точка I лежит на прямой A ₁ C ₁ .

Замечание

Окружность ω называют полувписанной окружностью треугольника ABC

Примечания

1. П. А. Кожевников «Полувписанная» окружность
2. Экзаменационная работа А. Гаркового по геометрии на тему «Полувписанная окружность»