Порядок Деорнуа — определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос .

Определение

Имеется множество различных подходов к определению порядка Деорнуа. Наиболее элементарный состоит в следующем.

Обозначим символами ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ образующие Артина группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ из ${\displaystyle n}$ нитей. Коса называется положительной по Деорнуа (или ${\displaystyle \sigma }$ -положительной ), если она может быть задана таким непустым артиновским словом , что образующая Артина ${\displaystyle \sigma _{k}}$ с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом ${\displaystyle k}$ входит в него только в положительных степенях . Аналогично определяются отрицательные по Деорнуа косы (или ${\displaystyle \sigma }$ -отрицательные ).

Например, коса ${\displaystyle \beta =\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ допускает запись ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ , поэтому является положительной по Деорнуа.

По определению порядка Деорнуа , коса ${\displaystyle \alpha }$ из ${\displaystyle n}$ нитей меньше косы ${\displaystyle \beta }$ из того же числа нитей, что обозначается символом ${\displaystyle \alpha \leqslant \beta }$ или ${\displaystyle \alpha \leqslant _{n}\beta }$ , если либо ${\displaystyle \alpha =\beta }$ , либо произведение ${\displaystyle \alpha ^{-1}\beta }$ косы ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ , обратной к косе ${\displaystyle \alpha }$ , и косы ${\displaystyle \beta }$ является положительной по Деорнуа . Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: ${\displaystyle \alpha <\beta }$ или ${\displaystyle \alpha <_{n}\beta }$ .

Например, для любой положительной по Деорнуа косы ${\displaystyle \beta }$ выполняется следующая цепочка неравенств:

${\displaystyle \ldots <\beta ^{-2}<\beta ^{-1}<1<\beta <\beta ^{2}<\ldots }$ .

Кроме того, в группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ выполняются неравенства:

${\displaystyle 1<\sigma _{n-1}<\sigma _{n-1}^{2}<\sigma _{n-1}^{3}<\ldots <\sigma _{n-2}<\sigma _{n-2}^{2}<\sigma _{n-2}^{3}<\ldots \ldots <\sigma _{2}<\sigma _{2}^{2}<\sigma _{2}^{3}<\ldots <\sigma _{1}<\sigma _{1}^{2}<\sigma _{1}^{3}<\ldots }$

Свойства

Множество положительных по Деорнуа кос из заданного числа ${\displaystyle n}$ нитей является положительным конусом на группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ . Иными словами, выполняются следующие свойства :

1. Любая ${\displaystyle \sigma }$ -положительная коса нетривиальна ( ацикличность );
2. Любая нетривиальная коса является либо ${\displaystyle \sigma }$ -положительной, либо ${\displaystyle \sigma }$ -отрицательной ( свойство сравнения ).

Таким образом, для каждого числа нитей ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ отношение ${\displaystyle \leqslant _{n}}$ является левоинвариантным линейным порядком на группе ${\displaystyle B_{n}}$ .

Например, порядок Деорнуа на бесконечной циклической группе ${\displaystyle B_{2}\cong \mathbb {Z} }$ изоморфен стандартному линейному порядку на множестве целых чисел.

Глобальные свойства

Порядок Деорнуа не имеет ни максимальных, не минимальных элементов . Так, из неравенств ${\displaystyle \sigma _{1}^{-1}<1<\sigma _{1}}$ для любой косы ${\displaystyle \beta }$ следуют неравенства ${\displaystyle \beta \sigma _{1}^{-1}<\beta <\beta \sigma _{1}}$ .

Коса ${\displaystyle \sigma _{n-1}}$ является наименьшим положительным по Деорнуа элементом группы ${\displaystyle B_{n}}$ . Таким образом, упорядоченное множество ${\displaystyle (B_{n},\leqslant )}$ является дискретным . А именно, непосредственным преемником косы ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ является коса ${\displaystyle \beta \sigma _{n-1}}$ , а непосредственным предшественником — коса ${\displaystyle \beta \sigma _{n-1}^{-1}}$ .

При ${\displaystyle n\geq 3}$ упорядоченная группа ${\displaystyle (B_{n},\leqslant )}$ не является архимедовой . Иными словами, существуют такие ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$ , что неравенство ${\displaystyle \alpha ^{p}<\beta }$ выполняется для любого ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ . Например, ${\displaystyle 1<\sigma _{2}^{p}<\sigma _{1}}$ .

При ${\displaystyle n\geq 3}$ упорядоченная группа ${\displaystyle (B_{n},\leqslant )}$ не является . Иными словами, существуют такие ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$ , что неравенство ${\displaystyle \alpha \beta ^{p}<\beta }$ выполняется для любого ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ . Например, данное неравенство выполняется при ${\displaystyle \alpha =\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}}$ .

Локальные свойства

Порядок Деорнуа в общем случае не является правоинвариантным . Так, неравенство ${\displaystyle \alpha <\beta }$ не обязательно влечет неравенство ${\displaystyle \alpha \gamma <\beta \gamma }$ . Например, в группе ${\displaystyle B_{3}}$ при ${\displaystyle \beta =\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ и ${\displaystyle \gamma =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ имеем ${\displaystyle 1<\beta }$ и ${\displaystyle \beta \gamma <\gamma }$ .

Последнее неравенство также эквивалентно неравенству ${\displaystyle \gamma ^{-1}\beta \gamma <1}$ . В частности, коса, сопряженная к положительной по Деорнуа косе, может быть отрицательной по Деорнуа.

При сопряжении положительных кос, однако, свойство положительности по Деорнуа сохраняется. А именно, порядок Деорнуа обладает так называемым свойством подслова , которое заключается в том, что все косы вида ${\displaystyle \beta ^{-1}\sigma _{i}\beta }$ положительны по Деорнуа. Или, что то же самое, выполняется неравенство ${\displaystyle \beta <\sigma _{i}\beta }$ . В частности, любая квазиположительная коса положительна по Деорнуа.

Неравенство ${\displaystyle \alpha <\beta }$ не обязательно влечет неравенство ${\displaystyle \alpha ^{-1}<\beta ^{-1}}$ . Например, в группе ${\displaystyle B_{3}}$ при ${\displaystyle \alpha =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}}$ обе косы ${\displaystyle \alpha ^{-1}\beta =\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ и ${\displaystyle \alpha \beta ^{-1}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ являются положительными по Деорнуа .

Количество положительных букв в артиновском слове в общем случае не коррелирует с порядком Деорнуа . Так, существует такая коса ${\displaystyle \beta }$ , содержащая хотя бы одну букву ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и являющаяся положительной по Деорнуа, что для любого ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ коса ${\displaystyle \beta ^{p}}$ , допускающая запись из хотя бы ${\displaystyle p}$ букв ${\displaystyle \sigma _{1}}$ , строго меньше (в порядке Деорнуа) косы ${\displaystyle \sigma _{1}}$ , содержащей всего одну такую букву. Примером такой косы является ${\displaystyle \beta =\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}}$ .

Антье Деорнуа

Отсутствие при ${\displaystyle n\geq 3}$ свойства архимедовости порядка Деорнуа на группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ означает, что существует такая коса ${\displaystyle \alpha \in B_{n}}$ , что попарно непересекающиеся интервалы

${\displaystyle \{\beta \in B_{n}\mid \alpha ^{p}\leqslant \beta <\alpha ^{p+1}\}}$ ,

где ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ , не покрывают всю группу ${\displaystyle B_{n}}$ . Тем не менее, если ${\displaystyle \alpha =\Delta _{n}^{2}}$ — центральная коса , то подобные интервалы образуют разбиение группы кос .

Такое единственное ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ , что выполняется неравенство

${\displaystyle \Delta _{n}^{2p}\leqslant \beta <\Delta _{n}^{2(p+1)}}$ ,

называется антье Деорнуа косы ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ и обозначается символами ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{\leqslant }}$ или ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor _{D}}$ .

Антье Деорнуа задаёт функцию ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ и является квазихарактером на группе кос, дефект которого равен единице. Иными словами, для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in B_{n}}$ выполняются неравенства :

${\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor _{D}+\lfloor \beta \rfloor _{D}-1\leq \lfloor \alpha \beta \rfloor _{D}\leq \lfloor \alpha \rfloor _{D}+\lfloor \beta \rfloor _{D}+1}$ .

Примечания

Литература

• Кассель, К. , Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Dehornoy, P. , Dynnikov, I. , Rolfsen, D. , Wiest, B . (англ.) . — Providence, R. I.: American Mathematical Society , 2008. — Vol. 148. — 323 p. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 978-0-8218-4431-1 .

Ссылки

• Малютин, А. В . // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16 , вып. 5 . — С. 59—91 .