Представление Бурау — линейное представление группы кос , введённое в 1935 году немецким математиком .

Определение

Представлением Бурау (или неприведённым представлением Бурау ) называется гомоморфизм

${\displaystyle \psi _{n}\colon B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\Lambda )}$

из группы кос из ${\displaystyle n\geq 2}$ нитей в полную линейную группу кольца ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ многочленов Лорана с целыми коэффициентами одной переменной ${\displaystyle t}$ , заданный на образующих Артина равенством

${\displaystyle \psi _{n}(\sigma _{i}):=\left({\begin{array}{c|cc|c}E_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&E_{n-i-1}\end{array}}\right),}$

где символ ${\displaystyle E_{k}}$ обозначает единичную матрицу размера ${\displaystyle k\times k}$ , рассматриваемую как блок блочно-диагональной матрицы ${\displaystyle \psi _{n}(\sigma _{i})}$ . Образом обратной образующей Артина при таком гомоморфизме является матрица

${\displaystyle \psi _{n}(\sigma _{i}^{-1}):=\left({\begin{array}{c|cc|c}E_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&0&1&0\\0&t^{-1}&1-t^{-1}&0\\\hline 0&0&0&E_{n-i-1}\end{array}}\right).}$

Элементы образа представления Бурау называются матрицами Бурау .

Интерпретации

Данное линейное представление допускает следующую наглядную интерпретацию. С каждой косой ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ свяжем элемент ${\displaystyle \varphi _{n}(\beta )\in {\rm {GL}}_{n}(\Lambda )}$ , задав соответствующее ему линейное преобразование векторного пространства ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ . Чтобы определить действие этого преобразования на упорядоченном наборе ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \Lambda ^{n}}$ , выберем диаграмму косы ${\displaystyle \beta }$ и следующим образом сопоставим элементы кольца ${\displaystyle \Lambda }$ дугам этой диаграммы. Сначала для каждого ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ отметим на дуге, содержащей ${\displaystyle k}$ -ый левый конец косы (при нумерации концов снизу вверх), элемент ${\displaystyle \lambda _{k}}$ . Далее, шаг за шагом распространим данное сопоставление на все остальные дуги: для каждого перекрёстка, в котором на двух из трёх составляющих его дуг уже отмечены элементы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , где ${\displaystyle y}$ — метка верхней ветви перекрёстка, припишем оставшейся дуге элемент ${\displaystyle tx+(1-t)y}$ , если перекрёсток является положительным, и элемент ${\displaystyle t^{-1}x+(1-t^{-1})y}$ , если перекрёсток является отрицательным. Результатом действия искомого преобразования на исходном наборе полагается, по определению, упорядоченный набор ${\displaystyle (\lambda _{1}^{\prime },\lambda _{2}^{\prime },\ldots ,\lambda _{n}^{\prime })}$ , где ${\displaystyle \lambda _{k}^{\prime }}$ — метка дуги, содержащей ${\displaystyle k}$ -ый правый конец косы (при нумерации концов снизу вверх). Тогда

${\displaystyle \psi _{n}=\varphi _{n}\circ \tau _{n}}$ ,

где ${\displaystyle \tau _{n}\in {\rm {Aut}}(B_{n})}$ — отражение кос .

Специализации

Отдельный интерес представляют специализации

${\displaystyle B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$

представления Бурау, получающиеся из него подстановкой вместо переменной ${\displaystyle t}$ некоторого фиксированного ненулевого комплексного числа. Наиболее изученными являются специализации в корнях из единицы .

Перестановочное представление

Результат подстановки ${\displaystyle t=1}$ в матрицу Бурау косы является матрицей перестановки , соответствующей этой косе . Таким образом, специализация представления Бурау при ${\displaystyle t=1}$ совпадает с композицией

${\displaystyle B_{n}\to S_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} )}$

гомоморфизма, отображающего косу в её перестановку, и симметрической группы .

Целочисленное представление Бурау

Специализация представления Бурау при ${\displaystyle t=-1}$ имеет вид

${\displaystyle \rho \colon B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} )}$

и называется целочисленным представлением Бурау . Его ядро называется заплетённой группой Торелли (от англ. braid Torelli group ) и обозначается символом ${\displaystyle BI_{n}}$ .

Для ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ композиция целочисленного представления Бурау с редукцией по модулю ${\displaystyle m}$ задаёт представление

${\displaystyle \rho _{m}\colon B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} )\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )}$ .

Его ядро называется конгруэнтной подгруппой уровня ${\displaystyle m}$ (от англ. level ${\displaystyle m}$ congruence subgroup ) или группой кос уровня ${\displaystyle m}$ (от англ. level ${\displaystyle m}$ braid group ) и обозначается символом ${\displaystyle B_{n}[m]}$ .

См. также

• Группа кос

Примечания

Литература

• Мантуров, В. О . // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО , 2010. — Т. 3 , вып. 14 . — С. 107–142 . — ISBN 978-5-94057-597-9 .
• Кассель, К , Тураев, В. Г . Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .