Многообразие Гизекинга — трёхмерное наименьшего объёма.

Построение

Многообразие Гизекинга можно построить путём склеивания двух пар граней идеального равноугольного гиперболического тетраэдра (с двугранными углами ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$ ). Если пронумеровать вершины 0, 1, 2, 3, то грань 0,1,2 надо склеить с гранью 3,1,0 и грань 0,2,3 надо склеить с гранью 3,2,1; в обоих случаях требуется сохранять порядок вершин.

Свойства

• Многообразие Гизекинга имеет наименьший объём среди всех гиперболических многообразий.
  • Его объём равен объёму правильного идеального гиперболического тетраэдра, он приблизительно равен 1.01494161.

• Двойное накрытие многообразия Гизекинга гомеоморфно к дополнению восьмерки .

• Границе окрестность бесконечности это бутылка Кляйна .

• Первые гомологии многообразия Гизекинга это целые числа.

• Многообразие Гизекинга расслаивается над окружностью с проколотым тором как слой; монодромия задаётся отображением ${\displaystyle (x,y)\to (x+y,x)}$ .
  • Квадрат этого отображения — так называемое . Это дает еще один способ увидеть, что двойное накрытие многообразия Гизекинга есть дополнение восьмёрки.

Ссылки

• Gieseking, H. (1912), , Thesis, Muenster, JFM
• Adams, Colin C. (1987), "The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume", Proceedings of the American Mathematical Society , 100 (4): 601—606, doi : , ISSN , MR