Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры ) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе , определённой над Q . Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры . и находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры.

Специальные случаи многообразий Шимуры ввёл Горо Шимура в ходе обобщения теории (модулярных кривых). Шимура показал, что первоначально определённые аналитически, объекты являются арифметическими в том смысле, что они удовлетворяют моделям, над числовым полем , полем отражения многообразия Шимуры. В 1970-х годах Пьер Делинь создал аксиоматическую схему для работы Шимуры. Примерно в то же время Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между и , постулированная в программе Ленглендса , может быть проверена. Автоморфные формы , реализованные в когомологии многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы. В частности, существует построение, присоединяющее к ним .

Определение

Исходные данные Шимуры

Пусть S = Res _{C / R} G _m — ограничение Вейля мультипликативной группы из комплексных чисел в вещественные числа . Оно является алгебраической группой , группа R -точек которой S ( R ) — C ^* , а группа C -точек — ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}}$ . Исходные данные Шимуры — это пара ( G , X ), состоящая из редуктивной алгебраической группы G , определённой над полем Q рациональных чисел , и G ( R )- класса сопряжённости X гомоморфизмов h : ${\displaystyle S\rightarrow G{\mathbf {R} }}$ , удовлетворяющего следующим аксиомам:

• Для любого h из X в g _C могут встретиться только веса (0,0), (1,−1), (−1,1), то есть комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},}$

где для любого z ∈ S h ( z ) действует тривиально на первый член суммы и посредством ${\displaystyle z/{\bar {z}}}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}/z}$ ) на второй и третий члены соответственно.

• Сопряжённое действие h( i ) порождает на сопряжённой группе группы G _R .
• Сопряжённая группа для G _R не подчиняется фактору H , определённому над Q , так что проекция h на H тривиальна.

Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязную), такую, что для любого представления ${\displaystyle \rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)}$ , семейство ${\displaystyle (V\rho \cdot h)}$ является голоморфным семейством структур Ходжа . Более того, оно образует вариацию структуры Ходжа и X является конечным объединением (непересекающихся) .

Многообразие Шимуры

Пусть A _ƒ — группы Q . Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G ( A _ƒ )

${\displaystyle Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K}$

является конечным объединением локально симметрических многообразий формы ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus X^{+}}$ , где верхний индекс плюс обозначает связную компоненту . Многообразия ${\displaystyle Sh_{K}(G,X)}$ являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют над всеми достаточно маленькими компактными открытыми подгруппами K . Эта инверсивная система

${\displaystyle (Sh_{K}(G,X))_{K}}$

подчиняется естественному правому действию ${\displaystyle G(\mathbf {A} _{f})}$ . Она также называется многообразием Шимуры , ассоциированным с исходными данными Шимуры ( G , X ) и обозначается Sh ( G , X ).

История

Для специальных типов эрмитово-симметрических областей и конгруэнтных подгрупп Γ алгебраическое многообразие вида ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)}$ и его были введены в серии статей Горо Шимуры в течение 1960-х годов. Подход Шимуры, позднее представленный в его монографиях, был в большой степени феноменологическим и преследовал цель широкого обобщения формулировки закона взаимности теории (модулярных кривых). Ретроспективно, название «многообразие Шимуры» ввёл Делинь , который пробовал изолировать абстрактные свойства, играющие роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры — это область параметров структур Ходжа некоторого типа. Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой.

Примеры

Пусть F — полностью вещественное числовое поле и D — кватернионная алгебра с делением над F . Мультипликативная группа D ^× порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d является числом бесконечных мест, на которые D расщепляется. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и ${\displaystyle D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )}$ ), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу группы D ^× , получаем кривую Шимуры и кривые, возникающие из этого построения, уже компактны (то есть ).

Некоторые примеры кривых с известными уравнениями, заданные поверхностями Гурвица низкого рода:

• (род 3)
• Поверхность Макбита (род 7)
• (род 14)

и кривой Ферма степени 7 .

Другие примеры многообразий Шимуры включают и .

Канонические модели и специальные точки

Любое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E называется полем отражений . Этот важный результат, принадлежащий Шимуре, показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое и, поэтому, имеют арифметическое значение. Это образует стартовую точку в формулировке закона взаимности, в котором важную роль играют некоторые арифметически определённые специальные точки .

Качественная природа замыкания Зарисского множеств точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре — Оорта . Условные результаты могут быть получены из этой гипотезы, исходя из обобщённой гипотезы Римана .

Роль в программе Ленглендса

Многообразия Шимуры играют выдающуюся роль в программе Ленглендса . Из следует, что дзета-функция Хассе — Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. На самом деле, Горо Шимура ввёл свои многообразия и доказал свой закон взаимности в процессе обобщения этой теоремы. Дзета-функции многообразий Шимуры, ассоциированных с группой GL ₂ над другими числовыми полями и их внутренние формы (то есть мудьтипликативные группы алгебр кватернионов) изучали Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс высказал прогноз, что дзета-функция Вейля любого алгебраического многообразия W , определённого над числовым полем должна быть произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, то есть должна возникать из набора ^* . Однако утверждения такого типа могут быть доказаны, если W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:

Примечания

Литература

• Montserrat Alsina, Pilar Bayer. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves. — Providence, RI: American Mathematical Society , 2004. — Т. 22. — (CRM Monograph Series). — ISBN 0-8218-3359-6 .
• / James Arthur, David Ellwood, Robert Kottwitz. — AMS, 2005. — Т. 4. — (Clay Mathematics Proceedings). — ISBN 978-0-8218-3844-0 .
• Pierre Deligne . Travaux de Shimura // . — Springer, Berlin, 1971. — Т. 244. — С. 123–165. — (Lecture Notes in Math.).
• Pierre Deligne . Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques // Automorphic forms, representations and L-functions; Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Part 2. — Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1979. — С. 247–289.
• Pierre Deligne , James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi. Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982. — Т. 900. — С. ii+414. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-11174-3 .
• / Silvio Levy. — Cambridge University Press , 1999. — Т. 35. — (Mathematical Sciences Research Institute Publications). — ISBN 978-0-521-66066-2 .
• Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Milne J. Shimura varieties and motives // Motives , Proc. Symp. Pure Math, 55:2 / Jannsen U., Kleiman S.. Serre J.-P.. — Amer. Math. Soc, 1994. — С. 447–523.
• Milne J. S. . — 2004.
• Harry Reimann. The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties / Dold E., Takens F.. — New York, London, Paris, Tokio: Springer, 1997. — Т. 1657. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-62645-X .
• Goro Shimura . The Collected Works of Goro Shimura // . — 2003—2016. — Т. 1–5.
• Goro Shimura . Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. — Т. 11. — (Publications of the mathematical society of Japan). — ISBN 0-691-08092-5 .