Характер (или числовой характер , или характер Дирихле ), это определённая арифметическая функция , которая возникает из характеров на обратимых элементах ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$ . Характеры Дирихле используются для определения L -функций Дирихле , которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если ${\displaystyle \chi }$ является характером Дирихле, его L -ряд Дирихле определяется равенством

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости . L -функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана .

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле .

Аксиоматическое определение

Характер Дирихле — это любая функция ${\displaystyle \chi }$ на множестве целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ с комплексными значениями, имеющая следующие свойства :

1. Существует положительное целое число k , такое что ${\displaystyle \chi (n)=\chi (n+k)}$ для любых n .
2. Если n и k не взаимно просты , то ${\displaystyle \chi (n)=0}$ ; если же они взаимно просты, ${\displaystyle \chi (n)\neq 0}$ .
3. ${\displaystyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$ для любых целых m и n .

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) ${\displaystyle \chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)}$ . Поскольку НОД (1, k ) = 1, свойство 2) гласит, что ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$ , так что

4. ${\displaystyle \chi (1)=1}$ .

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле ${\displaystyle \chi }$ является характером .

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k . Мы говорим, что ${\displaystyle \chi }$ является характером по модулю k . Это эквивалентно утверждению, что

5. если ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {k}}}$ , то ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b)}$ .

Если НОД( a , k ) = 1, теорема Эйлера утверждает, что ${\displaystyle a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k}}}$ (где ${\displaystyle \varphi (k)}$ является функцией Эйлера ). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1}$ , а по свойству 3) ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)}}$ . Следовательно,

6. Для всех a , взаимно простых с k , ${\displaystyle \chi (a)}$ является ${\displaystyle \varphi (k)}$ -ым комплексным корнем из единицы ,

то есть ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)}}$ для некоторого целого ${\displaystyle 0\leqslant r<\varphi (k)}$ .

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером . Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

• Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с ${\displaystyle k}$ , называется главным :

  ${\displaystyle \chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{НОД}}(n,\;k)=1;\\0,&{\text{НОД}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.}$ .

  • В группе характеров по модулю ${\displaystyle k}$ он играет роль единицы.

Характер называется вещественным , если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным

Знак характера ${\displaystyle \chi }$ зависит от его значения в точке −1. Говорят, что ${\displaystyle \chi }$ нечётный , если ${\displaystyle \chi (-1)=-1}$ , и чётный , если ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ .

Построение через классы вычетов

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы обратимых элементов кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$ как расширенные характеры классов вычетов .

Классы вычетов

Если дано целое число k , можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k : ${\displaystyle {\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.}$ То есть класс вычетов ${\displaystyle {\hat {n}}}$ является классом смежности n в факторкольце ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$ .

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка ${\displaystyle \varphi (k)}$ , где умножение в группе задаётся равенством ${\displaystyle {\widehat {mn}}={\hat {m}}{\hat {n}}}$ , а ${\displaystyle \varphi }$ снова означает функцию Эйлера . Единицей в этой группе служит класс вычетов ${\displaystyle {\hat {1}}}$ , а обратным элементом для ${\displaystyle {\hat {m}}}$ является класс вычетов ${\displaystyle {\hat {n}}}$ , где ${\displaystyle {\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}}$ , то есть ${\displaystyle mn\equiv 1{\pmod {k}}}$ . Например, для k =6 множеством обратимых элементов является ${\displaystyle \{{\hat {1}},{\hat {5}}\}}$ , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ состоит из характеров классов вычетов . Характер класса вычетов ${\displaystyle \theta }$ на ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ примитивен , если нет собственного делителя d для k , такого что ${\displaystyle \theta }$ факторизуются как ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ .

Характеры Дирихле

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен группы обратимых элементов по модулю k : группа гомоморфизмов ${\displaystyle \chi }$ из ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ в ненулевые комплексные числа

${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ ,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов ${\displaystyle \chi }$ на группе обратимых элементов по модулю k , мы можем до функции на целых числах, взаимно простых с k , а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k . Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле .

Главный характер ${\displaystyle \chi _{1}}$ по модулю k имеет свойства

${\displaystyle \chi _{1}(n)=1}$ при НОД( n , k ) = 1 и

${\displaystyle \chi _{1}(n)=0}$ при НОД( n , k ) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ является главным характером, который всегда принимает значение 1 .

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k , большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k , и равно 1 на других целых числах.

Имеется ${\displaystyle \varphi (n)}$ характеров Дирихле по модулю n .

Примеры

• Для любого нечётного модуля ${\displaystyle k}$ символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {n}{k}}\right)}$ является характером по модулю ${\displaystyle k}$ .
• Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры ${\displaystyle \chi _{1}}$ являются главными характерами.

По модулю 1

Существует ${\displaystyle \varphi (1)=1}$ характер по модулю 1:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	1

Это тривиальный характер.

По модулю 2

Существует ${\displaystyle \varphi (2)=1}$ характер по модулю 2:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (1)}$ , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3

Есть ${\displaystyle \varphi (3)=2}$ характера по модулю 3:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (2)}$ , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4

Существует ${\displaystyle \varphi (4)=2}$ характера по модулю 4:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$ , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L -ряд Дирихле для ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле )

${\displaystyle L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)}$ ,

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ является дзета-функцией Римана. L -ряд для ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ является бета-функцией Дирихле

${\displaystyle L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,}$

По модулю 5

Существует ${\displaystyle \varphi (5)=4}$ характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из ${\displaystyle -1}$ .

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	i	−i	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	−1	−1	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	− i	i	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значение ${\displaystyle \chi (2)}$ , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6

Существует ${\displaystyle \varphi (6)=2}$ характеров по модулю 6:

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	0	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	0	0	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (5)}$ , поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7

Существует ${\displaystyle \varphi (7)=6}$ характеров по модулю 7. В таблице ниже ${\displaystyle \omega =\exp(\pi i/3).}$

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	− ${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	1	−1	1	−1	−1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	1
${\displaystyle \chi _{6}(n)}$	0	1	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$ , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8

Существует ${\displaystyle \varphi (8)=4}$ характеров по модулю 8.

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6	7
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	1	0	−1	0	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	−1	0	1	0	−1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	0	−1	0	−1	0	1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значениями ${\displaystyle \chi (3)}$ и ${\displaystyle \chi (5)}$ , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9

Существует ${\displaystyle \varphi (9)=6}$ характеров по модулю 9. В таблице ниже ${\displaystyle \omega =\exp(\pi i/3).}$

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	1	0	1	1	0	1	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	${\displaystyle \omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	${\displaystyle -\omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	1
${\displaystyle \chi _{6}(n)}$	0	1	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	0	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega }$	0	${\displaystyle \omega ^{2}}$	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (2)}$ , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10

Существует ${\displaystyle \varphi (10)=4}$ характеров по модулю 10.

${\displaystyle \chi \setminus n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	i	0	0	0	− i	0	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	0	− i	0	0	0	i	0	−1

Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$ , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Примеры

Если p является нечётным простым числом , то функция

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\ }$ где ${\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}$ является символом Лежандра , является примитивным характером Дирихле по модулю p .

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\ }$ где ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$ является символом Якоби , является характером Дирихле по модулю m .

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби .

Примитивные характеры и кондуктор

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если ${\displaystyle \chi *}$ является характером по модулю M , он индуцирует характер ${\displaystyle \chi *}$ по модулю N для любого N , кратного M . Характер является примитивным , если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю .

Если ${\displaystyle \chi }$ – характер по модулю n и d делит n , мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для ${\displaystyle \chi }$ , если ${\displaystyle \chi (a)=1}$ для всех a , взаимно простых с n и 1 mod d : характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля .

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров ${\displaystyle \chi _{1}\mod N_{1}}$ и ${\displaystyle \chi _{2}\mod N_{2}}$ как согласованных , если для некоторого модуля N , такого что N ₁ и N ₂ оба делят N , мы имеем ${\displaystyle \chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)}$ для всех n взаимно простых с N , то есть существует некоторый характер ${\displaystyle \chi *}$ , порождённый как ${\displaystyle \chi _{1}}$ , так и ${\displaystyle \chi _{2}}$ . Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию в их L-функциях .

Ортогональность характеров

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле .

Если мы зафиксируем характер ${\displaystyle \chi }$ по модулю n , то

${\displaystyle \sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0}$ ,

если ${\displaystyle \chi }$ не главный характер, иначе сумма равна ${\displaystyle \varphi (n)}$ .

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n , то сумма по всем характерам даёт

${\displaystyle \sum _{\chi }\chi (a)=0}$ ,

кроме случая a =1, когда сумма равна ${\displaystyle \varphi (n)}$ .

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n , является линейной комбинацией характеров Дирихле .

История

Характеры Дирихле вместе с их ${\displaystyle L}$ -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ и в основном когда ${\displaystyle s}$ стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также

• Сумма Гаусса
• Примитивный корень по модулю n

Примечания

Литература

Литература

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.