Две, в общем случае, комплекснозначные функции ${\displaystyle \varphi _{1}(t)}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}(t)}$ , принадлежащие пространству Лебега ${\displaystyle L_{2}(E)}$ , где ${\displaystyle E}$ — измеримое множество , называются ортогональными , если

${\displaystyle \int \limits _{E}\!\varphi _{1}(t){\overline {\varphi _{2}(t)}}\,dt=0}$

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности. Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом ${\displaystyle w}$ функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ , если

${\displaystyle \ \int \limits _{\Omega }\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega =0}$

где ${\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle }$ — скалярное произведение векторов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ — значений векторнозначных функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ в точке ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle x}$ — точка области ${\displaystyle \Omega }$ , а ${\displaystyle d\Omega }$ — элемент её объёма ( меры ). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных ${\displaystyle f(x)}$ , ${\displaystyle g(x)}$ скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных ${\displaystyle f(x)}$ , ${\displaystyle g(x)}$ : ${\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle ={\bar {f}}(x)g(x)}$ .

Требование принадлежности функций пространству ${\displaystyle L_{2}(E)}$ связано с тем, что при ${\displaystyle p\neq 2}$ пространства ${\displaystyle L_{p}(E)}$ не образуют гильбертова пространства , а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример

1. ${\displaystyle \sin x}$ и ${\displaystyle \cos x}$ являются ортогональными функциями на интервале ${\displaystyle [0,\pi ]}$
2. ${\displaystyle \sin(2\pi knx}$ ) и ${\displaystyle \cos(2\pi knx)}$ , где ${\displaystyle n}$ — целое, ортогональны на интервале ${\displaystyle [0,T],T=1/k}$
3. ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle 1}$ ортогональны на интервале ${\displaystyle [-1,1]}$

См. также

• Ортогональность
• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье

Для улучшения этой статьи желательно : Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.