Гипотеза Уиллмора — это нижняя граница энергии Уиллмора тора . Гипотеза носит имя английского математика Томаса Уиллмора , который сформулировал её в 1965 году . Доказательство гипотезы анонсировано Маркишем и Невишом в 2012 году и опубликовано в 2014 году .

Энергия Уиллмора

Пусть ${\displaystyle v:M\to \mathbb {R} ^{3}}$ будет гладким погружением компактной ориентированной поверхности . Пусть дано многообразие M и риманова метрика , порождённая погружением ${\displaystyle v}$ . Пусть ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$ будет средней кривизной ( среднее арифметическое главных кривизн κ ₁ и κ ₂ в каждой точке). В такой нотации энергия Уиллмора W ( M ) многообразия M задаётся выражением

${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.}$

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет неравенству ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ с равенством тогда и только тогда, когда многообразие M является вложенной сферой .

Утверждение

Вычисление величины W ( M ) для нескольких примеров даёт повод предположить, что должна быть граница, лучшая чем ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ для поверхностей с родом ${\displaystyle g(M)>0}$ . В частности, вычисление W ( M ) для тора с различными симметриями привели Уиллмора в 1965 году к следующей гипотезе, которая теперь носит его имя

Для любого тора M , гладко погружённого в R ³ , выполняется неравенство ${\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2}}$ .

В 1982 году Питер Ли и Яу Шинтун доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3}}$ является погружением компактной поверхности, которая не является вложением, то W ( M ) не менее ${\displaystyle 8\pi }$ .

В 2012 году Фернанду Кода Маркиш и Андре Невиш доказали гипотезу во вложенном случае с помощью . Мартин Шмидт заявил о доказательстве в 2002 году , но работу не приняли для публикации ни в один рецензируемый математический журнал (хотя работа не содержала доказательство гипотезы Уиллмора, Шмидт доказал некоторые другие важные гипотезы в работе). До доказательства Маркиша и Невиша гипотеза Уиллмора была уже доказана для многих специальных случаев, таких как трубчатый тор (самим Уилмором) и торы вращения (Лангером и Сингером) .

Примечания

Литература

• Thomas J. Willmore. Note on embedded surfaces // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. — 1965. — Т. 11B .
• Peter Li, Shing Tung Yau. A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces // Inventiones Mathematicae . — 1982. — Т. 69 , вып. 2 . — doi : .
• Frank Morgan. // The Huffington Post . — 2012.
• Fernando C. Marques, André Neves. // Annals of Mathematics . — 2014. — Т. 179 . — С. 683–782 . — doi : . — arXiv : .
• Martin U. Schmidt. A proof of the Willmore conjecture. — 2002. — arXiv : .
• Joel Langer, David Singer. Curves in the hyperbolic plane and mean curvature of tori in 3-space // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1984. — Т. 16 , вып. 5 . — С. 531–534 . — doi : .