Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X , которая является локально конечной и внутреннее регулярной.

Определение

Пусть μ есть мера на сигма-алгебре борелевских множеств в хаусдорфовом топологическом пространстве X .

Мера μ называется внутренне регулярной , если для любого борелевского множества B , μ ( B ) совпадает с супремумом μ ( K ) для компактных подмножеств K в B .

Мера μ называется внешней регулярной , если для любого борелевского множества B , μ ( B ) является инфимумом μ ( U ) по всем открытым множествам U , содержащим B .

Мера μ называется локально конечной , если каждая точка в X имеет окрестность U , для которой значение μ ( U ) конечно. (Если μ локально конечна, то μ конечна на компактных множествах.)

Мера μ называется мерой Радона , если она внутренне регулярна и локально конечна.

Замечание

• Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова «компактный» на «замкнутый и компактный» везде, но это обобщение пока не имеет приложений.

Примеры

Примеры мер Радона:

• Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная на борелевские подмножества);
• Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе;
• Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
• Гауссовы меры на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с его борелевской сигма-алгеброй;
• Вероятностные меры на σ-алгебре борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, например, меру Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1].

Следующие меры не являются мерами Радона:

• Считающая мера на евклидовом пространстве не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
• Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка является компактным топологическим пространством. Мера, которая равна 1 на любом множестве, содержащем несчётное замкнутое множество, и 0 в противном случае, является борелевской, но не является мерой Радона.
• Пусть X — это множество [0,1), оснащённое топологией стрелки . Мера Лебега на этом топологическом пространстве не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна. Последнее следует из того, что в этой топологии компактные множества не более чем счётны.
• Стандартная мера произведения на ${\displaystyle (0,1)^{\kappa }}$ с несчётным ${\displaystyle \kappa }$ — не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1.

Свойства

Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство , μ — меру Радона на ${\displaystyle X}$ .

• Мера μ задаёт линейный функционал на пространстве всех финитных функций на X , то есть непрерывных функций с компактным носителем:

  ${\displaystyle I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu }$

Более того:

• Этот функционал полностью определяет саму меру.
• Этот функционал непрерывен и положителен. Положительность означает, что ${\displaystyle I(f)\geqslant 0}$ , если ${\displaystyle f\geqslant 0}$ .

Метрика Радона

Конусу всех мер Радона на ${\displaystyle X}$ можно придать структуру полного метрического пространства . Расстояние между двумя мерами Радона ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ , определяется следующим образом:

${\displaystyle \rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}-\mu _{2})(x)\right\},}$

где супремум берётся по всем непрерывным функциям ${\displaystyle f\colon X\to [-1,1]}$

Эта метрика называется метрикой Радона . Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью .

Пространство Радоновых вероятностных мер на ${\displaystyle X}$ ,

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},}$

не является секвециально компактным по отношению к этой метрике, то есть не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится.

Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер:

${\displaystyle \rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu }$

Обратное неверно в общем случае.

Интегрирование

Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) производится в несколько шагов:

1. Определяется верхний интеграл μ*(g) полунепрерывных снизу положительных (вещественных) функций g как супремум (возможно, бесконечный) положительных чисел μ ( h ) для финитных непрерывных функций h ≤ g .
2. Определяется верхний интеграл μ*( f ) для произвольной положительной вещественнозначной функции f как инфимум верхних интегралов μ*(g) для полу-непрерывных снизу функций g ≥ f .
3. Определяется векторное пространство F = F ( Х ; μ ) как пространство всех функций f на X, для которых верхний интеграл μ*(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полунорму на F , и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой.
4. Определяется пространство L ¹ ( X , μ ) интегрируемых функций как замыкание в F пространства непрерывных финитных функций.
5. Определяется интеграл для функций из L ¹ ( X , μ ) через расширение по непрерывности (после проверки того, что μ непрерывна относительно топологии L ¹ ( X , μ )).
6. Определяется мера множества как интеграл (когда он существует) функции индикатора множества.

Можно убедиться, что эти действия дают теорию, идентичную той, что начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству в X .

Литература

• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 .
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis , vol. 2, Academic Press
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis , Springer-Verlag .
• König, Heinz (1997), Measure and integration: an advanced course in basic procedures and applications , New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
• Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Ссылки

• R.A Minlos (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4