Обобщённая арифметическая прогрессия — множество чисел или элементов произвольной группы ${\displaystyle G}$ , представимое в виде

${\displaystyle \left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{i},\ i=1,\dots ,k}\right\rbrace }$

для некоторых ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k},n_{1},\dots ,n_{k}}$ .

Связанная терминология

Прогрессия называется собственной , если все числа вида ${\displaystyle a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}}$ различны, то есть она содержит ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$ элементов.

Рангом (или размерностью ) прогрессии называется количество слагаемых в представлении каждого элемента (в обозначениях выше число ${\displaystyle k}$ ).

При ${\displaystyle n_{1}=\dots =n_{k}=2}$ обобщённую арифметическую прогрессию также называют ${\displaystyle d}$ -мерным кубом (поскольку в него существует линейное отображения из ${\displaystyle \left\lbrace {0,1}\right\rbrace ^{d}}$ ).

При ${\displaystyle k=1}$ множество представляет собой обычную арифметическую прогрессию .

Область использования

Обобщённые арифметические прогрессии представляют собой конструкцию менее структурированную чем обычная арифметическая прогрессия, но тем не менее всё же имеющую нетривиальную структуру (когда размер прогрессии велик, а ранг мал). Это делает их удобным инструментом для изучения и обобщения теорем арифметической комбинаторики, связанных с выводом структуры из численных характеристик множества, таких как аддитивная энергия , коэффициент удвоения и т. д.

Некоторые структурные теоремы аддитивной комбинаторики доказывают существование обобщённой арифметической прогрессии достаточно малого ранга и большого размера в достаточно упорядоченных множествах или возможность покрытия такого множества обобщённой арифметической прогрессий небольшого ранга и небольшого же (ограниченного некоторой формулой от размера множества) размера.

Обобщённые арифметиеские прогрессии могут использоваться для доказательства теоремы Рота .

Вообще доказать присутствие во множестве обобщённых арифметических прогрессий, исходя из каких-то известных фактов об этом множестве, часто легче, чем доказать присутствие обычных арифметических прогрессий.

См. также

• Аддитивная комбинаторика

Примечания

Литература

• Рональд Грэхем. Начала теории Рамсея. — М. : Мир, 1984.