Interested Article - Тождество максимумов и минимумов

Тождество максимумов и минимумов — математическое соотношение между максимальным элементом конечного множества чисел и минимальными элементами всех его непустых подмножеств .

Формулировка

Пусть — произвольные действительные числа . Тогда тождество утверждает:

Аналогичное соотношение имеет место, если поменять местами минимумы и максимумы:

Доказательство

Докажем, например, первое из приведённых соотношений.

Заметим, что если заменить , где — произвольное число, то обе части доказываемого соотношения также изменятся на .

Действительно, левая часть:

Правая часть:

Второе слагаемое в точности равно , в силу известного свойства биномиальных коэффициентов :

Заменим теперь все на , где . В силу вышеизложенных соображений соотношение для набора будет выполнено тогда и только тогда, когда выполнено соотношение для набора . Но при этом все , и одно или несколько чисел из набора равны .

Если все , то соотношение, очевидно, выполнено.

Рассмотрим случай, когда не все . Пусть для определённости , а . Тогда, как легко видеть, все нулевые можно исключить из равенства, которое таким образом превращается в

Таким образом, мы свели соотношение для чисел к аналогичному соотношению для меньшего количества чисел. Отсюда в силу принципа математической индукции следует, что исходное соотношение верно для любого натурального .

См. также

Источник —

Same as Тождество максимумов и минимумов