Тождество максимумов и минимумов
— математическое соотношение между
максимальным
элементом
конечного множества
чисел и
минимальными
элементами всех его непустых
подмножеств
.
Формулировка
Пусть
— произвольные
действительные числа
. Тогда
тождество
утверждает:
Аналогичное соотношение имеет место, если поменять местами минимумы и максимумы:
Доказательство
Докажем, например, первое из приведённых соотношений.
Заметим, что если заменить
, где
— произвольное число, то обе части доказываемого соотношения также изменятся на
.
Действительно, левая часть:
Правая часть:
Второе слагаемое в точности равно
, в силу известного свойства
биномиальных коэффициентов
:
Заменим теперь все
на
, где
. В силу вышеизложенных соображений соотношение для набора
будет выполнено тогда и только тогда, когда выполнено соотношение для набора
. Но при этом все
, и одно или несколько чисел из набора
равны
.
Если все
, то соотношение, очевидно, выполнено.
Рассмотрим случай, когда не все
. Пусть для определённости
, а
.
Тогда, как легко видеть, все нулевые
можно исключить из равенства, которое таким образом превращается в
Таким образом, мы свели соотношение для
чисел к аналогичному соотношению для меньшего количества
чисел. Отсюда в силу принципа
математической индукции
следует, что исходное соотношение верно для любого натурального
.
См. также