Теорема о двойном пузыре гласит, что стандартный двойной пузырь (то есть три сферические шапки, сходящиеся под углом 120° на общей граничной окружности) имеет минимальную площадь среди всех поверхностей, содержащих два отделения объёмами ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ .

Доказательство сочетает в себе несколько ингредиентов. Компактность спрямляемых потоков (обобщенных поверхностей) показывает, что решение существует. Симметрия используется для доказательства, что решение должно быть поверхностью вращения , и имеете ограниченное число гладких кусков. Далее доказывается, что среди поверхностей вращения только стандартный двойной пузырь имеет локально минимальную площадь.

Теорема о двойном пузыре обобщает изопериметрическое неравенство , согласно которому оболочка с минимальным периметром любой области представляет собой круг , а оболочка с минимальной площадью поверхности любого отдельного объема представляет собой сферу .

История

Трёхмерное изопериметрическое неравенство , согласно которому сфера имеет минимальную площадь поверхности для своего объема, было сформулировано Архимедом , и было строго доказано Германом Шварцем в 19 веке. В 19 веке Джозеф Плато изучал двойной пузырь, и истинность теоремы о двойном пузыре была принята без доказательства.

К 1989 году проблема двойного пузыря стала популярной. В 1991 году Джоэл Фойзи, студент бакалавриата Уильямс-колледжа, был лидером команды студентов, которые доказали двумерный аналог гипотезы о двойном пузыре. В своей студенческой диссертации Фойзи был первым, кто сформулировал гипотезу о трёхмерном двойном пузыре.

Доказательство в случае двух равных объёмов было получено Джоэлом Хассом и Роджером Шлафли в 1995 году и опубликовано в 2000 году. Доказательство общей гипотезы получено Хатчингсом, Морганом, Риторе и Роса в 2000 году и опубликовано в 2002. После более ранней работы над четырёхмерным случаем обобщение на высшие размерности было опубликовано Рейхардтом в 2008 году , а в 2014 году Лоулор опубликовал другое доказательство.

Вариации и обобщения

Джон М. Салливан предположил, что для любой размерности ${\displaystyle d}$ минимальное плёнка ограничивающая ${\displaystyle d+1}$ данных объёмов (не обязательно равных) имеет форму стереографической проекции симплекса . В частности, в этом случае все границы между пузырьками были бы участками сфер. Частный случай этой гипотезы для трёх пузырей в двух измерениях был доказан; в этом случае три пузырька образованы шестью дугами окружности и прямыми отрезками, встречающимися в том же комбинаторном порядке, что и ребра тетраэдра.

Для бесконечного числа равных областей на плоскости набором кривых минимальной длины, разделяющих эти области, является шестиугольный паркет , известный по пчелиным сотам . Oптимальность (гипотеза сот) была доказана Т. К. Хейлзом в 2001 году. Для той же задачи в трёх измерениях оптимальное решение неизвестно; лорд Кельвин предположил, что оно было дано структурой, комбинаторно эквивалентной усеченным кубическим сотам, но эта гипотеза была опровергнута открытием структуры Вейра — Фелана, разделения пространства на ячейки равного объема двух разных форм с использованием меньшей средней площади поверхности на ячейку.

Примечания