Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции . Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов .

Специальные функции возникают обычно из следующих задач:

• «неберущиеся» интегралы;
• решения трансцендентных уравнений , не выражающиеся в элементарных функциях;
• решения дифференциальных уравнений , не выражающиеся в элементарных функциях;
• ряды , не сходящиеся к элементарным функциям;
• математическое выражение свойств чисел;
• необходимость задания функции с необычными свойствами.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций

Большинство специальных функций являются трансцендентными .

Функции-интегралы

К таким специальным функциям относятся: бета-функция , гамма-функция , интегральный логарифм , интегральная экспонента , интеграл вероятности , интегральный синус , интегральный косинус , эллиптические функции , интегралы Френеля .

Функции-ряды

К таким функциям относятся гипергеометрическая функция , дзета-функция Римана , дзета-функция Гурвица , полилогарифм , .

Неэлементарные решения дифференциальных уравнений

К таким специальным функциям относятся: сферические функции , цилиндрические функции , функции Эйри , функции параболического цилиндра , функции Матьё , функции Бесселя .

Необычные функции

Существуют много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле , функция Хевисайда .

Функции, выражающие свойства чисел

Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции , знак числа , факториал .

См. также

• Проект Бейтмена — проект по созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций

Литература

• Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
• Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.
• Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.

Ссылки

• О. М. Киселёв. .
• .
• (недоступная ссылка)