В математике преобразование Вейерштрасса функции f : R → R , названное в честь Карла Вейерштрасса , представляет собой «сглаженную» версию f ( x ) , полученную путём усреднения значений f , взвешенных с помощью гауссиана с центром в точке x .

В частности, это функция F , определённая формулой

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

то есть свёртка f с функцией Гаусса

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

Коэффициент 1/√(4 π ) выбран так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1, вследствие чего постоянные функции не изменяются преобразованием Вейерштрасса.

Вместо F ( x ) также пишется W [ f ]( x ) . Заметим, что F ( x ) не обязательно должно существовать для каждого действительного числа x , когда определяющий интеграл не сходится.

Преобразование Вейерштрасса тесно связано с уравнением теплопроводности (или, что эквивалентно, уравнению диффузии с постоянным коэффициентом диффузии). Если функция f описывает начальную температуру в каждой точке бесконечно длинного стержня, который имеет постоянную теплопроводность , равную 1, то распределение температуры стержня через единицу времени t = 1 будет задано функцией F . Используя значения t , отличные от 1, мы можем определить обобщённое преобразование Вейерштрасса для f .

Обобщённое преобразование Вейерштрасса предоставляет средство для сколь угодно хорошей аппроксимации заданной интегрируемой функции f аналитическими функциями .

Названия

Вейерштрасс использовал это преобразование в своём первоначальном доказательстве теоремы Вейерштрасса — Стоуна . Оно также известно как преобразование Гаусса или преобразование Гаусса-Вейерштрасса в честь Карла Гаусса и как преобразование Хилле в честь , который его тщательно изучал. Обобщение преобразования Вейерштрасса, упомянутое ниже, известно в обработке сигналов как фильтр Гаусса , а в обработке изображений (при реализации на R ² ) как размытие по Гауссу .

Преобразования некоторых важных функций

Как упоминалось выше, каждая постоянная функция является собственным преобразованием Вейерштрасса. Преобразование Вейерштрасса любого многочлена является многочленом той же степени и фактически тем же ведущим коэффициентом ( асимптотическое разложение не меняется). Действительно, если H _n обозначает многочлены Эрмита степени n , тогда преобразование Вейерштрасса H _n ( x /2) — это просто x ⁿ . Это можно показать, используя тот факт, что производящая функция последовательности для многочленов Эрмита тесно связана с ядром Гаусса, используемым в определении преобразования Вейерштрасса.

Преобразованием Вейерштрасса функции e ^ax (где a является произвольной константой) является e ^{a 2} e ^ax . Функция e ^ax таким образом, является ^* преобразования Вейерштрасса. (Это, на самом деле, в более общем случае верно для всех свёрточных преобразований.)

Установив a = bi , где i является мнимой единицей , и применив тождество Эйлера , можно увидеть, что преобразование Вейерштрасса функции cos( bx ) равно e ^{− b 2} cos( bx ), а преобразование Вейерштрасса функции sin( bx ) равна e ^{− b 2} sin( bx ).

Преобразование Вейерштрасса функции e ^{ax 2} имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}}$ , если a < 1/4, и не определено, если a ≥ 1/4.

В частности, при выборе отрицательного значения очевидно, что преобразование Вейерштрасса гауссовой функции снова является гауссовой функцией, но «более широкой».

Общие свойства

Преобразование Вейерштрасса ставит в соответствие каждой функции f новую функцию F ; это соответствие является линейным . Оно также является трансляционно-инвариантным, что означает, что преобразованием функции f ( x + a ) является F ( x + a ). Оба эти факта в более общем случае справедливы для любого интегрального преобразования, определённого с помощью свёртки.

Если преобразование F ( x ) существует для действительных чисел x = a и x = b , тогда оно также существует для всех промежуточных действительных значений и образует там аналитическую функцию ; кроме того, F ( x ) будет существовать для всех комплексных чисел x с a ≤ Re( x ) ≤ b и образует голоморфную функцию на этой полоске комплексной плоскости . Это формальное утверждение о «гладкости» F , упомянутой выше.

Если функция f интегрируема по всей вещественной оси (то есть f ∈ L ¹ ( R ) ), то это справедливо и для её преобразования Вейерштрасса F , и если, кроме того, f ( x ) ≥ 0 для всех x , тогда также F ( x ) ≥ 0 для всех x и интегралы от f и F равны. Это выражает физический факт, что полная тепловая энергия или тепло сохраняется уравнением теплопроводности или что общее количество диффундирующего вещества сохраняется уравнением диффузии.

Используя вышесказанное, можно показать, что для 0 < p ≤ ∞ и f ∈ L ^p ( R ) , мы имеем F ∈ L ^p ( R ) и || F || _p ≤ || f || _p . Следовательно, преобразование Вейерштрасса даёт ограниченный оператор W : L ^p ( R ) → L ^p ( R ).

Если f является достаточно гладкой, тогда преобразование Вейерштрасса k -й производной функции f равно k -ой производной преобразования Вейерштрасса от f .

Существует формула, связывающая преобразование Вейерштрасса W и двустороннее преобразование Лапласа L . Если мы определяем

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x),}$

тогда

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

Фильтр нижних частот

Мы видели выше, что преобразованием Вейерштрасса cos( bx ) является e ^{− b 2} cos( bx ), и аналогично для sin( bx ). В терминах обработки сигналов это говорит о том, что если сигнал f содержит частоту b (то есть содержит слагаемое, представляющее собой комбинацию sin( bx ) и cos( bx )), тогда преобразованный сигнал F будет содержать ту же частоту, но с амплитудой , умноженной на коэффициент e ^{− b 2} . Это приводит к тому, что более высокие частоты уменьшаются больше, чем более низкие, и, таким образом, преобразование Вейерштрасса действует как фильтр нижних частот . Это также можно показать с помощью преобразования Фурье . Преобразование Фурье анализирует сигнал с точки зрения его частот, преобразует свёртки в произведения и преобразует функцию Гаусса в функцию Гаусса. Преобразование Вейерштрасса является свёрткой с гауссианом и, следовательно, произведением преобразования Фурье сигнала и гауссиана, с последующим применением обратного преобразования Фурье. Это умножение на гауссиан в частотном пространстве смешивает высокие частоты, что является другим способом описания свойства «сглаживания» преобразования Вейерштрасса.

Обратное преобразование

Относительно легко установить следующую формулу, тесно связанную с преобразованием Лапласа функции Гаусса и действительным аналогом :

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

Теперь заменим в ней u оператором формального дифференцирования D = d / dx и используем

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(x-y)}$ ,

(следствие формулы ряда Тейлора и определения показательной функции ), чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

чтобы таким образом получить следующее формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W ,

${\displaystyle W=e^{D^{2}}~,}$

где оператор справа следует понимать как действующий на функцию f ( x ) как

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

Приведённый выше формальный вывод скрывает детали сходимости, а формула W = e ^{D 2} , таким образом, не является универсальной; существует несколько функций f , которые имеют чётко определённое преобразование Вейерштрасса, но для которых e ^{D 2} f ( x ) не может быть определено осмысленно.

Тем не менее, правило всё ещё довольно полезно и может, например, использоваться для получения преобразований Вейерштрасса полиномов, экспоненциальных и тригонометрических функций, упомянутых выше.

Таким образом, формальное обратное преобразование Вейерштрасса задаётся формулой

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

Эта формула не является универсальной, но может служить руководством. Можно показать, что она корректна для определённых классов функций, если правильно определён оператор правой части .

В качестве альтернативы можно попытаться обратить преобразование Вейерштрасса немного другим способом: учитывая аналитическую функцию

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

применить W ⁻¹ для получения

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2),}$

ещё раз используя фундаментальное свойство многочленов Эрмита H _n .

Опять же, эта формула для f ( x ) в лучшем случае формальна, поскольку не проверялось, сходится ли конечный ряд. Но если, например, f ∈ L ² ( R ), то знание всех производных от F в x = 0 достаточно для получения коэффициентов a _n ; таким образом, можно представить f в виде ряда многочленов Эрмита.

Третий метод обращения преобразования Вейерштрасса использует его связь с преобразованием Лапласа, упомянутым выше, и хорошо известной формулой обращения преобразования Лапласа. Результат приведён ниже для распределений.

Обобщения

Мы можем использовать свёртку с ядром Гаусса ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ (для t > 0 ) вместо ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}}$ , таким образом определяя оператор W _t обобщённого преобразования Вейерштрасса.

При малых значениях t W _t [ f ] очень близко к f , но гладко. Чем больше t , тем больше этот оператор усредняет и изменяет f . Физически, W _t соответствует уравнению теплопроводности (или диффузии) для единицы времени t и аддитивно:

то есть "диффузия для единицы времени t , а затем единицы времени s , эквивалентна диффузии для единицы времени s + t ". Можно распространить это на t = 0 , установив W ₀ тождественным оператором (то есть свёрткой дельта-функции ) и таким образом получив полугруппу операторов .

Ядро ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$ используемое для обобщённого преобразования Вейерштрасса, иногда называют ядром Гаусса-Вейерштрасса , это функция Грина для уравнения диффузии ${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0}$ на R .

W _t может быть вычислен из W : задана функция f ( x ) , определим новую функцию f _t ( x ) = f ( x √ t ) ; тогда W _t [ f ]( x ) = W [ f _t ]( x /√ t ) , что является следствием правила замены переменной.

Преобразование Вейерштрасса также может быть определено для обобщённой функции . Например, преобразование Вейерштрасса дельта-функции является гауссианом ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}}$ .

В этом контексте могут быть доказаны строгие формулы обращения, например,

где x ₀ — любое фиксированное действительное число, для которого F ( x ₀ ) существует, интеграл простирается по вертикальной линии в комплексной плоскости с вещественной частью x ₀ , и предел следует принимать в смысле распределений.

Кроме того, преобразование Вейерштрасса может быть определено для вещественных (или комплексных) функций (или распределений), определённых на R ⁿ . Мы используем ту же формулу свёртки, что и выше, но интерпретируем интеграл как распространяющийся на всё R ⁿ и выражение ( x − y ) ² как квадрат евклидовой длины вектора x − y ; множитель перед интегралом должен быть скорректирован так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1.

В более общем смысле, преобразование Вейерштрасса может быть определено на любом Римановом пространстве : уравнение теплопроводности может быть сформулировано там (используя оператор Лапласа — Бельтрами ), и преобразование Вейерштрасса W [ f ] получается путём решения уравнения теплопроводности за единицу времени, начиная с начального «распределения температуры» f .

Связанные преобразования

Если рассматривать свёртку с ядром 1/(π(1 + x ² )) вместо гауссиана, получается ядро Пуассона , которое сглаживает и усредняет заданную функцию способом, аналогичным преобразованию Вейерштрасса.

См. также

• Размытие по Гауссу
• Фильтр Гаусса

Примечания