Пространство Урысона — метрическое пространство , универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {U} }$ .

Определение

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство ${\displaystyle \mathbb {U} }$ , обладающее следующими двумя свойствами:

• Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {U} }$ .
• Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U} }$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии ${\displaystyle \mathbb {U} }$ .

Замечание

• Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство ${\displaystyle \mathbb {U} }$ , обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение ${\displaystyle A\to \mathbb {U} }$ из подмножества ${\displaystyle A}$ конечного метрического пространства ${\displaystyle F}$ можно продолжить до изометрического отображения ${\displaystyle F\to \mathbb {U} }$ .

Свойства

• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ существует и единственно с точностью до изометрии.

• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ является компактно однородным . То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества ${\displaystyle K\subset \mathbb {U} }$ в ${\displaystyle U}$ можно продолжить до изометрии ${\displaystyle \mathbb {U} }$ .

• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.

• При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
  • Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи .

История

Морис Фреше доказал, что пространство ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном .

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов . В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.

Примечания

Ссылки

• С. А. Богатый, , УМН , 55 :2(332) (2000), 131—132.

• А. М. Вершик , Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН , 387 :6 (2002), 733—736

• А. М. Вершик, , видеозапись лекции 28 сентября 2006 г. на общеинститутском семинаре «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

• А. М. Вершик, , УМН , 59 :2(356) (2004), 65-104.

• J. Melleray, Some geometric and dynamical properties of the Urysohn space. Topology Appl. 155 (2008), no. 14, 1531–1560.