Interested Article - Лемма Безиковича о покрытиях

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали .

Доказана Абрамом Безиковичем в 1945 году.

Формулировка

Для любого натурального $n$ существует такое натуральное $M=M(n)$ , что верно следующее. Пусть ${\mathfrak {B}}$ — произвольное множество замкнутых шаров в $\mathbb {R} ^{n}$ с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров ${\mathfrak {B}}'\subset {\mathfrak {B}}$ , такой что центр любого шара из ${\mathfrak {B}}$ принадлежит хотя бы одному шару из ${\mathfrak {B}}'$ и при этом семейство ${\mathfrak {B}}'$ можно разбить на $M$ подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания

Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.

Можно предположить, что $M(n)=5^{n}$ .
Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.

Применения

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали . Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы $C$ и произвольного шара $B$ имеем

\mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)

.

Вариации и обобщения

Достаточным условием для выполнения леммы Безиковича в метрическом пространстве является так называемая ограниченность по направлениям . Это свойство ввёл в рассмотрение Герберт Федерер .

Примечания

* A. Malnic and B. Mohar. Two results on an antisocial families of balls // Proc. of the Fourth Czechoslovakian Sympos. on Combinatorics, Graphs and Complexity (Prachatice, 1990). — С. 205-207 .
* E. F. Reifenberg. // Math. Gaz.. — 1948. — Т. 32 . — С. 290-292 .
смотри 2.8.9 в книге Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.

Литература

С. В. Иванов , лекции 2008.
Besicovitch, A. S. (1945), "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 41 (02): 103—110, doi : .
- "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 42 : 205—235, 1946 .
DiBenedetto, E (2002), Real analysis , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5 .