Interested Article - Лемма Шуры-Буры

Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии , касающегося свойств компактных пространств :

Пусть $U$ — открытое подмножество компактного пространства $X$ , а $\{F_{s}\}_{s\in S}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если $\bigcap _{s\in S}F_{s}\subset U$ , то существует конечное множество $\{s_{1},s_{2},\dots s_{n}\}\subset S$ , такое, что $\bigcap _{i=1}^{n}F_{s_{i}}\subset U$ .

Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств):

Пусть $U$ — открытое подмножество компактного пространства $X$ , а ${\mathcal {F}}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$ . Тогда $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U$ для некоторого конечного подсемейства ${\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}$ .

Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества $U$ и из дополнений элементов семейства ${\mathcal {F}}$ , является открытым покрытием пространства $X$ и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.

Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.

Обобщения леммы Шуры-Буры

Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактное :

Пусть $U$ — открытое подмножество пространства $X$ , а ${\mathcal {F}}$ — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$ . Тогда $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U$ для некоторого конечного подсемейства ${\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}$ .

В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усиление :

Пусть $U$ — открытое подмножество хаусдорфова пространства $X$ , а ${\mathcal {F}}$ — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$ . Тогда найдутся конечное семейство $\{\,F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}\,\}\subset {\mathcal {F}}$ и конечное семейство $\{\,V_{1},V_{2},\dots ,V_{n}\,\}$ открытых в $X$ множеств, обладающие следующими свойствами:
а) $F_{i}\subset V_{i}$ для $i=1,2,\dots ,n$ ;
б) $\bigcap _{i=1}^{n}V_{i}\subset U$ .

Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта

Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова , где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941) :

Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентой .

Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры» . Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914) .

Примечания

Действительно, пусть некоторое топологическое пространство $X$ обладает указанным в формулировке леммы Шуры-Буры свойством. Докажем, что это пространство компактно. Пусть ${\mathcal {V}}$ — произвольное его открытое покрытие. Предполагая непустоту семейства ${\mathcal {V}}$ , выберем произвольное $U\in {\mathcal {V}}$ .
Положим ${\mathcal {F}}=\{\,X\setminus V:V\in {\mathcal {V}},\ V\neq U\,\}$ ; тогда $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$ (поскольку ${\mathcal {V}}$ — покрытие). Следовательно, найдется конечное ${\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}$ , для которого $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U$ . Легко видеть, что семейство открытых множеств, состоящее из $U$ и дополнений элементов семейства ${\mathcal {F}}_{0}$ , является конечным подсемейством семейства ${\mathcal {V}}$ , покрывающим пространство $X$ .
См., например, Р. Энгелькинг. Общая топология / Пер. с англ.. — М. : Мир, 1986. , Следствие 3.1.5 (С. 197).
См., например A. Arhangel'skii, M. Tkachenko. . — Atlantis Press, 2008. — ISBN 9078677066 . , лемма 2.4.6. В этой книге отмечено, что данное утверждение принадлежит топологическому фольклору.
П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. — М. : Наука, 1973. — С. 171.
П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М. : Наука, 1977. — С. 285.
М. Р. Шура-Бура. — Матем. сб., 1941, 9(51) :2, 385—388, Теорема I. В этой оригинальной работе «лемма Шуры-Буры» не сформулирована в качестве отдельного утверждения, но доказана неявно.
Компонента (компонента связности) точки топологического пространства — это наибольшее связное подпространство этого пространства, содержащее данную точку; квазикомпонента — пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств этого пространства, содержащих данную точку. Компонента каждой точки топологического пространства содержится в её квазикомпоненте. Обратное, вообще говоря, неверно (даже в случае локально компактных подпространств обычной евклидовой плоскости — см. Энгелькинг (loc. cit.), пример 6.1.24), однако в компактах (то есть компактных хаусдорфовых пространствах) компоненты точек совпадают с квазикомпонентами, как гласит указанная теорема. См. также её доказательство в цитированных книгах П. С. Александрова и Р. Энгелькинга.
См., например, М. В. Келдыш . от 20 июля 2009 на Wayback Machine ; Д. К. Мусаев . — — Матем. тр., 7 :2 (2004), 72—97.
F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. — Leipzig: von Veit, 1914.