Теория Друде — классическое описание движения электронов в металлах . Эта теория была предложена немецким физиком Паулем Друде через 3 года после открытия электрона как частицы — в 1900 году . Она отличается простотой и наглядностью, хорошо поясняет эффект Холла , удельную проводимость в постоянном и переменном токе и теплопроводность в металлах и поэтому до сегодняшнего дня актуальна. Может использоваться для нескольких типов носителей, включая пространственно разделённые слои, как в кулоновском увлечении .

Основные предположения

Электроны в металле рассматриваются как электронный газ, к которому можно применить кинетическую теорию газов . Считается, что электроны, как и атомы газа в кинетической теории, представляют собой одинаковые твёрдые сферы, которые движутся по прямым линиям до тех пор, пока не столкнутся друг с другом. Предполагается, что продолжительность отдельного столкновения пренебрежимо мала, и что между молекулами не действует никаких иных сил, кроме возникающих в момент столкновения. Так как электрон — отрицательно заряженная частица, то для соблюдения условия электронейтральности в твёрдом теле также должны быть частицы другого сорта — положительно заряженные. Друде предположил, что компенсирующий положительный заряд принадлежит гораздо более тяжёлым частицам (ионам), которые он считал неподвижными. Во времена Друде не было ясно, почему в металле существуют свободные электроны и положительно заряженные ионы, и что эти ионы собой представляют. Ответы на эти вопросы смогла дать только квантовая теория твёрдого тела. Для многих веществ, однако, можно просто считать, что электронный газ составляют слабо связанные с ядром внешние валентные электроны, которые в металле «освобождаются» и получают возможность свободно передвигаться по металлу, тогда как атомные ядра с электронами внутренних оболочек (атомные остовы) остаются неизменными и играют роль неподвижных положительных ионов теории Друде.

Несмотря на то, что плотность газа электронов проводимости примерно в 1000 раз больше плотности классического газа при нормальных температуре и давлении, и несмотря на присутствие сильного электрон-электронного и электрон-ионного взаимодействия в модели Друде для рассмотрения электронного газа в металлах почти без изменений применяются методы кинетической теории нейтральных разреженных газов.

Основные предположения теории Друде.

• В интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и ионами. Иными словами, принимается, что в отсутствие внешних электромагнитных полей каждый электрон движется с постоянной скоростью по прямой линии. Далее, считают, что в присутствии внешних полей электрон движется в соответствии с законами Ньютона; при этом учитывают влияние только этих полей, пренебрегая сложными дополнительными полями, порождаемыми другими электронами и ионами. Приближение, в котором пренебрегают электрон-электронным взаимодействием в промежутках между столкновениями, известно под названием приближения независимых электронов. Соответственно приближение, в котором пренебрегают электрон-ионным взаимодействием, называется приближением свободных электронов.
• В модели Друде, как и в кинетической теории, столкновения — это мгновенные события, внезапно меняющие скорость электрона. Друде связывал их с тем, что электроны отскакивают от непроницаемых сердцевин ионов (а не считал их электрон-электронными столкновениями по аналогии с доминирующим механизмом столкновений в обычном газе).
• Предполагается, что за единицу времени электрон испытывает столкновение (то есть внезапное изменение скорости) с вероятностью, равной ${\displaystyle {1 \over \tau }}$ . Имеется в виду, что для электрона вероятность испытать столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени ${\displaystyle dt}$ равна просто ${\displaystyle {dt \over \tau }}$ . Время ${\displaystyle \tau }$ называют временем релаксации, или временем свободного пробега; оно играет фундаментальную роль в теории проводимости металлов. Из этого предположения следует, что электрон, выбранный наугад в настоящий момент времени, будет двигаться в среднем в течение времени ${\displaystyle \tau }$ до его следующего столкновения и уже двигался в среднем в течение времени ${\displaystyle \tau }$ с момента предыдущего столкновения. В простейших приложениях модели Друде считают, что время релаксации ${\displaystyle \tau }$ не зависит от пространственного положения электрона и его скорости.
• Предполагается, что электроны приходят в состояние теплового равновесия со своим окружением исключительно благодаря столкновениям. Считается, что столкновения поддерживают локальное термодинамическое равновесие чрезвычайно простым способом: скорость электрона сразу же после столкновения не связана с его скоростью до столкновения, а направлена случайным образом, причём её величина соответствует той температуре, которая превалирует в области, где происходило столкновение. Поэтому чем более горячей является область, где происходит столкновение, тем большей скоростью обладает электрон после столкновения.

Формула Друде

Кинетическое уравнение Больцмана в приближении времени релаксации приводит для проводимости электронного газа к формуле Друде:

${\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*}}}}$

• ${\displaystyle \sigma }$ — электрическая удельная проводимость
• ${\displaystyle n}$ — концентрация электронов
• ${\displaystyle e_{0}}$ — элементарный заряд
• ${\displaystyle \tau }$ — время релаксации по импульсам (время, за которое электрон « забывает » о том, в какую сторону двигался)
• ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса электрона

Ниже приведён вывод этого выражения для классического случая без учёта реального потенциала рассеяния. Эта формула применима также к электронному и дырочному газу в полупроводниках (Формулу можно записать в другом виде для вырожденного электронного или дырочного газа ${\displaystyle \sigma =e_{0}^{2}Dg}$ , где ${\displaystyle D}$ — коэффициент диффузии электронов или дырок, а ${\displaystyle g}$ — плотность электронных или дырочных состояний , причём все физические величины берутся на поверхности Ферми ). Плотности состояний в двумерном проводнике

${\displaystyle g=g_{s}g_{v}{\frac {m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}}$ ,

где g _s — спиновое вырождение, g _v — долинное вырождение, m ^* — эффективная масса и не зависит от энергии. g _s = 2 а долинное вырождение для GaAs g _v = 1.

Для носителей тока с параболическим законом дисперсии (энергия отсчитывается от дна зоны проводимости)

${\displaystyle E_{F}={\frac {mv_{F}^{2}}{2}}}$ ,

где ν _F — скорость носителей на уровне Ферми, и g = n / E _F , можно получить выражение Друде для двумерно электронного газа

${\displaystyle \sigma =e_{0}^{2}D{\frac {n}{E_{F}}}={\frac {2e_{0}^{2}nD}{m^{*}v_{F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}{\frac {2D}{v_{F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}\tau }$ ,

где последнее уравнение следует из условия вырожденности электронного газа и определения коэффициента диффузии.

Некоторые формулы

• ускорение электрона между двумя соударениями из второго закона Ньютона :

${\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-{\frac {e_{0}}{m}}\cdot {\vec {E}}}$

• средняя скорость электрона:

${\displaystyle {\overline {v}}=v_{d}=-{\frac {e_{0}\cdot E}{2m}}\cdot {\tau }}$

Следует, однако, иметь в виду, что мгновенная скорость электрона в металле может быть большой и определяется уровнем Ферми .

• плотность тока :

${\displaystyle {\vec {j}}=-n\cdot e_{0}\cdot {\vec {v}}_{d}}$

• Закон Ома :

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {n\cdot e_{0}^{2}\cdot \tau }{2m}}\cdot {\vec {E}}=\sigma \cdot {\vec {E}}}$

• подвижность носителей заряда :

${\displaystyle \mu ={\frac {|{\vec {v}}_{d}|}{|{\vec {E}}|}}={\frac {e_{0}\cdot \tau }{2m}}}$

• тепловая энергия электрона:

${\displaystyle W_{th}=3{\frac {kT}{2}}}$

Пределы применимости

К недостаткам этой теории следует отнести то что эта теория феноменологическая и использует время релаксации, которое нужно получить из эксперимента или более глубокой теории. Также использование кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации ограничивает применимость этой теории в области дискретного спектра носителей тока, то есть она применима только в квазиклассическом приближении , а в сильных магнитных полях (при формировании уровней Ландау ) или при малом количестве мод ( ) не может адекватно описать физические явления. Также при макроскопическом проявлении квантовых эффектов как например явление сверхпроводимости . Даже в слабых магнитных полях теория Друде может терять применимость благодаря явлениям возникающим только в квантовой механике связанными с интерференцией, например слабая локализация , эффект Ааронова — Бома , универсальные флуктуации кондактанса . Кроме того даже сильная локализация (сильный беспорядок), перколяционная теория (низкая концентрация носителей), и баллистический транспорт оказываются за пределами применимости этой теории.

Литература

• Н. Ашкрофт, Н. Мермин. / М.И Каганов. — М. : Мир, 1979.