Принцип Гарнака ( вторая теорема Гарнака ) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году .

Формально, пусть ${\displaystyle v_{n}(z)}$ — положительные гармонические в некоторой области ${\displaystyle D}$ функции; если ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}(z)}$

сходится хотя бы в одной точке области ${\displaystyle D}$ , то он равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$ .

Доказательство

Пусть ${\displaystyle K}$ — круг с центром в ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle R}$ , лежащий в ${\displaystyle D}$ . Умножая неравенство ${\displaystyle {\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r}{R-r}}}$ , где ${\displaystyle 0\leq r<R}$ , на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}v_{n}(z_{0}+Re^{i\alpha })}$ , и интегрируя по ${\displaystyle \alpha }$ в пределах от ${\displaystyle -\pi }$ до ${\displaystyle \pi }$ , получим ${\displaystyle v_{n}(z_{0}+Re^{i\alpha })\leq {\frac {R+r}{R-r}}v_{n}(z_{0})}$ , откуда следует, что если в точке ${\displaystyle z_{0}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ сходится, то он сходится в каждой точке внутри ${\displaystyle K}$ . Пусть ${\displaystyle K_{1},K_{2},...,K_{m}}$ — цепочка кругов, лежащих в ${\displaystyle D}$ и таких, что точка сходимости ${\displaystyle z_{0}}$ есть центр круга ${\displaystyle K_{1}}$ , центр каждого ${\displaystyle K_{j}(1<j\leq m)}$ лежит внутри ${\displaystyle K_{j-1}}$ , ${\displaystyle Z}$ лежит внутри ${\displaystyle K_{m}}$ , где ${\displaystyle Z}$ — произвольно выбранная точка в ${\displaystyle D}$ . В точке ${\displaystyle Z}$ в силу изложенного ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}}$ оказывается сходящимся, но ${\displaystyle Z}$ — любая точка в ${\displaystyle D}$ , следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}}$ сходится в области ${\displaystyle D}$ . Пусть ${\displaystyle K}$ — произвольный круг с центром ${\displaystyle z_{1}}$ и радиусом ${\displaystyle \rho }$ , лежащий в ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle {\overline {K}}}$ — концентрический круг большего радиуса ${\displaystyle R}$ , также лежащий в ${\displaystyle D}$ . Умножая неравенство ${\displaystyle {\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}}$ , где ${\displaystyle 0\leq r<\rho }$ , на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}v_{n}(z_{1}+Re^{i\alpha })}$ , и интегрируя по ${\displaystyle \alpha }$ в пределах от ${\displaystyle -\pi }$ до ${\displaystyle \pi }$ , получим ${\displaystyle v_{n}(z_{1}+Re^{i\alpha })\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{n}(z_{1})}$ при ${\displaystyle 0\leq r<\rho }$ , следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ мажорируется на круге ${\displaystyle K}$ числовым сходящимя рядом ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{n}(z_{1})}$ и, следовательно, равномерно сходится на ${\displaystyle K}$ , но ${\displaystyle K}$ — любой круг в ${\displaystyle D}$ , следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$ .

Следствие

Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области ${\displaystyle D}$ сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$ .

Литература

• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.