Теория струн
Теория суперструн
Теория Теория струн Теория суперструн Теория бозонных струн М-теория Гетеротическая струна Голографический принцип
Фундаментальные понятия Квантовая струна Брана D-брана Группа Ли E₈
Похожие темы Суперсимметрия Супергравитация Квантовая гравитация
Известные учёные Виттен Венециано Грин Гросс Каку Малдасена Поляков Сасскинд Шварц
См. также: Портал:Физика

Пространство Кала́би — Яу ( многообразие Калаби — Яу ) — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой , для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии . Название было придумано в 1985 году , в честь Эудженио Калаби , который впервые предположил , что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна , который в 1978 году доказал .

Комплексное ${\displaystyle n}$ -мерное пространство Калаби — Яу является ${\displaystyle 2n}$ -мерным римановым многообразием с риччи-плоской метрикой и дополнительной симплектической структурой.

Ориентируемость и голоморфная ориентируемость

Гладкие многообразия делятся на ориентируемые и неориентируемые. Исторически первым примером неориентируемого многообразия была лента Мёбиуса (и в каком-то смысле это самый важный пример: двумерное гладкое многообразие неориентируемо тогда и только тогда, когда оно содержит ленту Мёбиуса). В терминах дифференциальных форм условие ориентируемости формулируется следующим образом: многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно допускает нигде не обращающуюся в нуль дифференциальную форму старшей степени ( форму объёма ). В геометрии неориентируемые многообразия являются скорее курьёзом, поскольку всякое неориентируемое многообразие допускает двойное накрытие , тотальное пространство которого ориентируемо (так называемое ориентирующее накрытие). Его удобно построить при помощи теории векторных расслоений . Именно, надо рассмотреть старшую внешнюю степень кокасательного расслоения — проще говоря, повесив над каждой точкой вещественную прямую, параметризующую всевозможные формы объёма на касательном пространстве в этой точке, выбрать в каждом слое скалярное произведение (например, воспользовавшись разбиением единицы ), а затем рассмотрев в нём вектора единичной длины (то есть по два вектора над каждой точкой). Касательное пространство в точке ${\displaystyle (p,\nu )}$ , где p — точка нашего многообразия, а ${\displaystyle \nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}}$ — ненулевой элемент объёма, изоморфно проецируется на ${\displaystyle T_{p}}$ , и, заводя в нём элемент объёма, равный ${\displaystyle \nu }$ , мы получаем нигде не обнуляющуюся форму старшей степени на тотальном пространстве этого накрытия. Подобная конструкция, когда каждая точка заменяется на пространство, параметризующее всевозможные структуры определённой природы в этой точке (в данном случае на пару точек), а потом на получившемся расслоённом пространстве вводится какая-либо структура, в более сложных случаях называется твисторной конструкцией .

Всё вышеизложенное относится только к вещественным гладким многообразиям (то есть состоящим из карт, функции перехода между которыми бесконечно дифференцируемы). В комплексной геометрии можно дать следующее

Определение. Пусть ${\displaystyle X}$ — комплексное многообразие комплексной размерности ${\displaystyle n}$ . Голоморфное расслоение ${\displaystyle K_{X}}$ , слой ${\displaystyle K_{x}}$ которого в точке ${\displaystyle x\in X}$ есть комплексная внешняя степень ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}}$ , называется каноническим расслоением . Если многообразие ${\displaystyle X}$ допускает нигде не вырожденное голоморфное сечение канонического расслоения, оно называется многообразием Калаби — Яу , а это сечение — голоморфной формой объёма .

К примеру, когда ${\displaystyle X}$ — комплексная кривая, или же риманова поверхность , каноническое расслоение это просто голоморфное кокасательное расслоение. Его сечения -- это голоморфные 1-формы, или же абелевы дифференциалы . Единственная риманова поверхность, допускающая абелев дифференциал без нулей, это тор, то есть эллиптическая кривая .

Вместе с тем, в терминологии имеется некоторая путаница (которая будет объяснена ниже): иногда от многообразий Калаби — Яу требуют зануления (или хотя бы конечности) фундаментальной группы. Некоторые авторы идут ещё дальше, и относят определение «Калаби — Яу» только к тем многообразиям, у которых ${\displaystyle h^{p,0}}$ все равны нулю при ${\displaystyle 0<p<n}$ (адепты более слабой конвенции называют такие многообразия «строгими Калаби — Яу»). Почти все авторы требуют условия кэлеровости , априори никак не связанное с наличием голоморфной формы объёма. Наконец, у математиков, если не оговорено обратное, многообразия Калаби — Яу подразумеваются компактными, но в приложениях также важны некомпактные многообразия Калаби — Яу: в таких случаях принято включать в определение условие на асимптотическое поведение голоморфной формы объёма на бесконечности. Имеются и другие вариации определения, связанные с дифференциально-геометрическими свойствами многообразий Калаби — Яу. В связи со всем этим многообразия, удовлетворяющие вышеприведённому определению, иногда жаргонно называются «голоморфно ориентируемыми» . Впредь будем подразумевать под понятием «Калаби — Яу» компактное кэлерово голоморфно ориентируемое многообразие.

Из общего комплексного многообразия, не являющегося голоморфно ориентируемым, получить многообразие Калаби — Яу никакой простой конструкцией типа ориентирующего накрытия нельзя. В самом деле, характеристический класс комплексного расслоения ${\displaystyle K}$ есть первый класс Черна ${\displaystyle c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ . Для наличия голоморфной формы объёма (то есть тривиализации ${\displaystyle K_{X}}$ ) необходимо зануление этого класса. Для сравнения, характеристические классы вещественных линейных расслоений, классы Штифеля — Уитни , принимают значение в ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ , группе когомологий с коэффициентами в кольце вычетов по модулю два, и, что неудивительно, обнуляются после подходящего двулистного накрытия.

Риччи-плоская метрика

На кэлеровых многообразиях кривизна Риччи имеет примечательное свойство: если ${\displaystyle I}$ — оператор комплексной структуры, то 2-форма, заданная как ${\displaystyle \rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)}$ , замкнута и лежит в классе когомологий ${\displaystyle c_{1}(K)}$ , классе Черна канонического расслоения. Это может быть проверено например явным координатным вычислением кривизны канонического расслоения на кэлеровом многообразии и доказано при помощи теории Черна — Вейля . Форма ${\displaystyle \rho }$ называется формой Риччи .

Гипотеза Калаби (1954, 1957) была им практически решена — ему не поддался лишь чрезвычайно тонкий аналитический момент, не имевший непосредственного отношения к геометрии. После того, как это аналитическое утверждение было доказано Яу (1977, 1978), она по справедливости называется теоремой Калаби — Яу (или решением Яу гипотезы Калаби ).

Теорема. Пусть ${\displaystyle (X,g)}$ — компактное кэлерово многообразие, ${\displaystyle \omega }$ его кэлерова форма, и ${\displaystyle R\in c_{1}(K_{X})}$ — какая-то форма, представляющая первый класс Черна. Тогда на ${\displaystyle X}$ существует кэлерова метрика ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ такая, что её кэлерова форма ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ принадлежит тому же классу когомологий, что и ${\displaystyle \omega }$ (то есть форма ${\displaystyle {\tilde {\omega }}-\omega }$ точна), и форма Риччи метрики ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ равняется ${\displaystyle R}$ .

Для многообразия Калаби — Яу с ${\displaystyle c_{1}(K_{X})=0}$ можно применить теорему к форме ${\displaystyle R=0}$ , и получить нетривиальное

Следствие. На многообразии Калаби — Яу всякий кэлеров класс допускает риччи-плоскую метрику.

Вместе с тем, зануление кривизны Риччи у кэлерова многообразия ещё не влечёт тривиальности канонического расслоения (и соответственно наличия голоморфной формы объёма): конечно, класс формы Риччи ${\displaystyle [\rho ]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)}$ в когомологиях де Рама будет нулевой, но это не исключает того, что целочисленный класс Черна ${\displaystyle c_{1}(K_{X})}$ является ненулевым классом в подгруппе кручения в ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ . Иногда такие многообразия также включают в определение многообразий Калаби — Яу.

Связность Леви-Чивиты риччи-плоской кэлеровой метрики сохраняет не только эрмитову структуру в касательных пространствах (то есть её голономия лежит не только в группе ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ), как это происходит на любом кэлеровом многообразии, но и голоморфную форму объёма (то есть голономия лежит в группе ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ). Это одна из групп в , и это составляет дифференциально-геометрическое определение многообразий Калаби — Яу. Дифференциальные геометры обыкновенно отказывают в названии «Калаби — Яу» многообразиям, группа голономии связности Леви-Чивиты на которых строго содержится в ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ (как например в случае плоских метрик на торе), а не равняется в точности этой группе.

Примеры и классификация

В одномерном случае любое пространство Калаби — Яу представляет собой тор ${\displaystyle \mathbf {T} ^{2}}$ , который рассматривается как эллиптическая кривая . Вообще комплексный тор любой размерности является многообразием Калаби — Яу. Риччи-плоская метрика в этом случае есть просто плоская метрика, и это единственный известный случай, когда она может быть написана удобоваримой формулой.

Все двумерные пространства Калаби — Яу представляют собой торы ${\displaystyle \mathbf {T} ^{4}}$ и так называемые . Классификация в бо́льших размерностях не завершена, в том числе в важном трёхмерном случае. Примером ${\displaystyle n}$ -мерного многообразия Калаби — Яу может служить гладкая гиперповерхность степени ${\displaystyle n+2}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}}$ (или вообще гладкий антиканонический дивизор — то есть нулевой уровень сечения расслоения, двойственного к каноническому — на любом многообразии, где антиканоническое расслоение допускает сечения).

Теорема Богомолова о разложении

Важным структурным результатом теории многообразий Калаби — Яу является теорема Богомолова (иногда Бовиля — Богомолова) о разложении .

Теорема. Всякое компактное кэлерово многообразие ${\displaystyle X}$ , обладающее голоморфной формой объёма (и, соответственно, риччи-плоской метрикой), допускает конечное накрытие ${\displaystyle X'\to X}$ , разлагающееся в ортогональное произведение ${\displaystyle X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j}}$ , где:

• ${\displaystyle T}$ — комплексный тор с плоской метрикой,
• ${\displaystyle Y_{i}}$ — строгие многообразия Калаби — Яу, то есть такие, что ${\displaystyle h^{p,0}(Y_{i})=0}$ при ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{i}}$ и ${\displaystyle h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1}$ ,
• ${\displaystyle Z_{j}}$ — неприводимо , то есть такие, что ${\displaystyle h^{2p,0}(Z_{j})=1}$ и ${\displaystyle h^{2p+1,0}(Z_{j})=0}$ .

Здесь ${\displaystyle h^{p,q}}$ — . Голоморфно симплектические многообразия также известны в дифференциальной геометрии как (номенклатура в данном случае, как и в случае многообразий Калаби — Яу, несколько запутана).

Более ранняя теорема Калаби, доказанная в предположении гипотезы его имени, утверждала похожий факт, но без различения строгих Калаби-Яу и неприводимых голоморфно симплектических многообразий. Теорема доказана (без замечания в скобках, на тот момент ещё не установленного) в 1974 году Богомоловым в статье О разложении кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим классом . В 1978 году Богомолов использовал этот результат при доказательстве того, что класс голоморфно симплектических многообразий исчерпывается K3-поверхностями . Это доказательство оказалось ошибочным: в 1983 году Бовиль привёл примеры голоморфно симплектических многообразий ( ${\displaystyle n}$ точек на K3-поверхности или схема Гильберта ${\displaystyle n+1}$ точки на абелевой поверхности, суммирующихся нулём, так называемое ). Тогда же он дал другое, дифференциально-геометрическое доказательство теоремы Богомолова, основанное на решении Яу гипотезы Калаби.

Использование в теории струн

В теории струн используются трёхмерные (имеющие вещественную размерность 6) многообразия Калаби — Яу, выступающие как слой компактификации пространства-времени , так что каждой точке четырёхмерного пространства-времени соответствует пространство Калаби — Яу.

Известно более чем 470 миллионов трёхмерных пространств Калаби — Яу , которые удовлетворяют требованиям к дополнительным измерениям, вытекающим из теории струн.

Одной из основных проблем теории струн (учитывая современное состояние разработки) является такая выборка из указанного удовлетворительного подмножества трёхмерных пространств Калаби — Яу, которая давала бы наиболее адекватное обоснование количества и состава семейств всех известных частиц. Феномен свободы выбора пространств Калаби — Яу и возникновение в этой связи в теории струн огромного количества ложных вакуумов известен как проблема ландшафта теории струн . При этом, если теоретические разработки в этой области приведут к выделению единственного пространства Калаби — Яу, удовлетворяющего всем требованиям для дополнительных измерений, это станет очень весомым аргументом в пользу истинности теории струн .

Примечания

Литература

• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung (1990), "Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I", Amer. Math. Soc. , 3 (3): 579—609, doi :
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung (1991), "Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II", Invent. Math. , 106 (1): 27—60, doi :