Ряд Мёбиуса — функциональный ряд вида:

${\displaystyle F(x)=\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {f(sx)}{s^{n}}}}$ ,

примечательный тем, что был исследован Мёбиусом в 1832 году , и послужил одной из мотиваций для введения функции Мёбиуса ${\displaystyle \mu (s)}$ , в дальнейшем получившей множество применений в теории чисел и смежных областях. Формула обращения для ряда, которую обнаружил Мёбиус:

${\displaystyle f(x)=\sum _{s=1}^{\infty }\mu (s){\frac {F(sx)}{s^{n}}}}$ .

Наряду с формулами обращения Мёбиуса для конечных функциональных рядов, данное обращение является прямым следствием свойств свёртки Дирихле , в связи с тем, что функция Мёбиуса является обращением Дирихле единичной функции, то есть ${\displaystyle 1*\mu =\epsilon }$ , где ${\displaystyle *}$ — свёртка Дирихле, а ${\displaystyle \epsilon }$ — единица кольца Дирихле .

Литература

• Möbius A. F. // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — С. 105—123 .
• Мёбиуса ряд — статья из Математической энциклопедии . В. М. Бредихин; см. также комментарии к английскому переводу статьи: (неопр.) . Encyclopedia of Mathematics .