Гра́сгоф, Франц ( нем. Franz Grashof ; 11 июля 1826 ( 1826-07-11 ) , Дюссельдорф — 26 октября 1893 , Карлсруэ ) — немецкий механик и машиностроитель .

Биография

Детство и юность

Франц Грасгоф родился 11 июля 1826 года в семье Елизаветы Софии Доротеи Флорентины Брюггеман ( нем. Lisette Sophie Dorothea Florentine Bruggemann ) и Карла Грасгофа ( нем. Karl Grashof ), преподавателя классической филологии в . Его дядей был придворный художник Отто Грасгоф . Несмотря на гуманитарное окружение в семье, Франц рано проявил интерес к технике; уже с 15 лет он работал слесарем , посещая после работы ремесленное училище .

В октябре 1844 года Франц Грасгоф поступил в , где изучал математику , физику и машиностроение . Однако в 1847 году Грасгоф, прервав обучение, пошёл на военную службу: год он прослужил добровольцем в стрелковом батальоне, а в 1848—1851 годах служил на флоте матросом и совершил на парусном судне плавания в Нидерландскую Ост-Индию и Австралию . После этого он разочаровался в избранной им было карьере морского офицера (не последнюю роль сыграла близорукость , которой он страдал) и вернулся в Берлин , где с 1852 года продолжал обучение в Королевском коммерческом институте .

Профессиональная карьера

В 1854 году Грасгоф окончил Берлинский Королевский коммерческий институт и остался работать в нём, преподавая математику и механику. В 1856 году группа из 23 молодых инженеров, в которую входил и Грасгоф, основали существующее и поныне ( нем. Verein Deutscher Ingenieure ) . Грасгоф стал редактором журнала «Zeitschrift des VDI» , учреждённого этим обществом и издававшегося начиная с 1 января 1857 года; в нём учёный опубликовал и ряд своих статей по различным вопросам прикладной механики . В 1860 году Ростокский университет присвоил Францу Грасгофу звание почётного доктора .

В 1863 году после смерти Фердинанда Редтенбахера Грасгоф стал его преемником на посту профессора кафедры прикладной механики и теории машин Политехникума Карлсруэ . Здесь он читал лекции по сопротивлению материалов , гидравлике , термодинамике и конструированию машин , причём — по общему мнению — его лекции отличались точностью и ясностью языка .

В 1883 году Грасгоф перенёс инсульт , последствия которого существенно ограничили его творческую активность. В 1891 году последовал новый инсульт, от которого учёный так и не оправился .

Умер 26 октября 1893 года в Карлсруэ .

Научная деятельность

Работы Грасгофа по кинематике

Основное направление исследований Грасгофа — прикладная механика (в частности, кинематика механизмов ). Был сторонником аналитических методов в механике . Из результатов, полученных Грасгофом, в современных учебниках теоретической механики обычно приводится теорема Грасгофа о проекциях скоростей (не всегда — с упоминанием имени автора).

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей

Рассмотрим две точки — ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ — некоторой механической системы, и пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — их текущие положения. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей в общем случае формулируется следующим образом: «Если на точки ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ наложена жёсткая связь, то проекции их скоростей на прямую, соединяющую текущие положения этих точек, равны» :

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!A}}\;=\;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{B}}}$ .

Обычно данную теорему применяют к точкам абсолютно твёрдого тела , и в этом случае её формулируют так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой» .

Приведём доказательство этой теоремы. Достаточно показать, что

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,(\mathbf {v} _{_{B}}-\mathbf {v} _{_{\!A}})\;\equiv \;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!AB}}\;=\;0}$

(здесь ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!AB}}}$ — скорость точки ${\displaystyle B^{*}}$ относительно точки ${\displaystyle A^{*}}$ ).

Дифференцируя по времени ${\displaystyle t}$ условие жёсткой связи

${\displaystyle (\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {r} _{_{\!AB}})\;=\;\mathrm {const} }$

(представленное в виде условия постоянства скалярного квадрата радиус-вектора точки ${\displaystyle B}$ относительно точки ${\displaystyle A}$ ), получаем:

${\displaystyle \left(\,{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right)\,+\,\left(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right)\;\equiv \;2\,(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ .

Итак, ${\displaystyle (\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ , то есть ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!AB}}\perp \mathbf {r} _{_{\!AB}}}$ .

Пусть теперь ${\displaystyle \mathbf {e} \,=\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}/\left|\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right|}$ — единичный вектор оси ${\displaystyle AB}$ . Имеем:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!AB}}\;=\;(\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;{1 \over \left|\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right|}\,(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ .

Теорема доказана.

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей нередко оказывается полезной при решении конкретных задач кинематики абсолютно твёрдого тела . Вот — типичный пример.

Пусть ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ — точки абсолютно твёрдого тела , ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — углы векторов ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!A}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ с прямой ${\displaystyle AB}$ . Найти ${\displaystyle V_{B}}$ , если известны ${\displaystyle V_{A}}$ , ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ (жирный шрифт при наборе ${\displaystyle V_{B}}$ не использовался, так что речь идёт о нахождении модуля вектора скорости точки ${\displaystyle B^{*}}$ ).

Имеем:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!A}}\;=\;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{B}}}$ ,

то есть

${\displaystyle V_{A}\,\cos \,\alpha \;=\;V_{B}\,\cos \,\beta }$ ;

отсюда

${\displaystyle V_{B}\;=\;V_{A}\,{{\cos \,\alpha } \over {\cos \,\beta }}}$ .

Решение задачи найдено. Подчеркнём ещё раз, что мы нашли только модуль вектора ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ . Полностью найти вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ , пользуясь только теоремой Грасгофа, мы бы не смогли.

Так обстоят дела и в общем случае. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей сама по себе не позволяет решать задачи кинематики до конца: всегда требуется какая-либо дополнительная информация.

Работы Грасгофа по сопротивлению материалов

Грасгоф проявлял большой интерес к сопротивлению материалов и в 1866 году выпустил руководство по данному предмету, переизданное в расширенном виде в 1878 году под названием «Теория упругости и прочности» ( нем. Theorie der Elasticität und Festigkeit ). Книга стала первой попыткой ввести элементы теории упругости в ориентированный на инженеров курс сопротивления материалов. Причём Грасгоф не ограничивается изложением лишь элементарного сопротивления материалов, но также вводит основные уравнения теории упругости , которыми пользуется при изложении теории изгиба и кручения призматических стержней и теории пластин . В задаче об изгибе стержня Грасгоф находит решения для некоторых форм поперечного сечения, не рассматривавшихся Сен-Венаном . Он продолжает исследования Вейсбаха по изучению сложного напряжённого состояния . В ряде разделов курса Грасгоф находит новые, оригинальные результаты .

Работы Грасгофа по машиноведению

Грасгоф работал также в области машиноведения . Его главный труд — «Теоретическое машиностроение» (тт. 1—3, 1875—1890 гг.), в котором он развил учение Ф. Рёло о кинематических парах и кинематических цепях .

В данном труде Грасгоф рассматривал движение как плоских , так и пространственных механизмов . Анализируя общий случай движения в пространстве, он указывал, что простая замкнутая цепь принуждённого движения с вращательными кинематическими парами должна состоять из семи звеньев, а также обсуждал возможности уменьшения числа звеньев при частных расположениях осей шарниров .

В учебниках по теории механизмов и машин часто приводится теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике .

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике

Данная теорема (иногда именуемая также правилом Грасгофа ) устанавливает условие существования кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике . Речь идёт о плоском механизме из трёх подвижных звеньев (то есть твёрдых тел, образующих механизм) 1 , 2 , 3 и стойки (неподвижного звена) 0 , у которого все звенья соединены между собой вращательными кинематическими парами .

Для звеньев плоских механизмов в теории механизмов и машин используют следующую терминологию:

• кривошип — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой и может совершать вокруг оси пары полный оборот ;
• коромысло — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой, но не может совершать полный оборот вокруг оси пары;
• шатун — звено плоского механизма, связанное вращательными парами с подвижными его звеньями, но не со стойкой.

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике формулируется так: "Наименьшее звено является кривошипом, если сумма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин остальных двух звеньев (под «наименьшим» понимается звено минимальной длины).

Поясним данную формулировку. Пусть ${\displaystyle a}$ — длина самого короткого звена (для механизма, изображённого на рисунке, ${\displaystyle a=\left|OA\right|}$ ), ${\displaystyle d}$ — длина одного из соединённых с ним звеньев, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — длины остальных звеньев механизма.

Предположим сначала, что ${\displaystyle d\,>\,b}$ и ${\displaystyle d\,>\,c}$ (на рисунке, где ${\displaystyle b=\left|AB\right|}$ , ${\displaystyle c=\left|BC\right|}$ , ${\displaystyle d=\left|OC\right|}$ , это именно так). Элементарный геометрический анализ показывает , что условием полной проворачиваемости звена наименьшей длины относительно звена длины ${\displaystyle d}$ является выполнение неравенства

${\displaystyle a\,+\,d\;<\;b\,+\,c}$ .

Если же ${\displaystyle d\,<\,b}$ или ${\displaystyle d\,<\,c}$ , то данное неравенство тем более будет выполняться. Из этих рассмотрений и следует справедливость теоремы Грасгофа в приведённой выше формулировке (рассмотрение предельного случая, когда неравенство обращается в равенство, мы опускаем).

Применяя правило Грасгофа, удаётся подразделить все шарнирные четырёхзвенники на 3 группы:

• механизм будет кривошипно-коромысловым , если длины его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за стойку принято звено, соседнее с наименьшим;
• механизм будет двухкривошипным , если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, и за стойку принято самое короткое звено;
• механизм будет двухкоромысловым , если либо правило Грасгофа не выполнено, либо оно выполнено, но самое короткое звено не соединено со стойкой (то есть оно является шатуном и потому не может быть кривошипом).

Так, изображённый на рисунке шарнирный четырёхзвенник является двухкоромысловым механизмом, поскольку правило Грасгофа для него не выполняется.

Работы Грасгофа по теории теплопередачи

Грасгоф работал также в области гидравлики и теплотехники , где изучал, в частности, процессы конвекции . В теории теплопередачи известно названное в его честь число Грасгофа — критерий подобия , определяющий процесс теплообмена при свободном движении в поле гравитации и являющийся мерой соотношения архимедовой (подъёмной) силы , вызванной неравномерным распределением плотности в неоднородном поле температур, и сил межмолекулярного трения .

Семья

В 1854 году Франц Грасгоф женился на Генриетте Ноттебом ( нем. Henriette Nottebohm ), дочери землевладельца. У них родились сын и две дочери; одна из дочерей, Елизавета, позднее вышла замуж за известного архитектора и скульптора ( нем. Karl Hoffacker ) .

Память

В 1894 году учредило в честь Франца Грасгофа (в 1856—1890 годах — первый директор общества) свою высшую награду — памятную медаль Грасгофа , которая вручается в качестве премии для инженеров, имеющих выдающиеся научные или профессиональные заслуги в области техники .

В 1986 году в Карлсруэ был воздвигнут памятник Францу Грасгофу . В честь него названы улицы в Бремене , Дюссельдорфе , Карлсруэ и Мангейме .

Публикации

• Grashof, Franz. . — Berlin: R. Gaertner, 1866. — xiv + 293 S.
• Grashof, Franz. . — Berlin: R. Gaertner, 1878. — viii + 408 S.
• Grashof, Franz. Theoretische Maschinenlehre. Bd. 1. Hydraulik nebst mechanischer Wärmetheorie und allgemeiner Theorie der Heizung. — Leipzig: L. Voss, 1875. — xiv + 972 S.
• Grashof, Franz. Theoretische Maschinenlehre. Bd. 2. Theorie der getriebe und der mechanischen Messinstrumente. — Leipzig: L. Voss, 1883. — xii + 873 S.
• Grashof, Franz. Theoretische Maschinenlehre. Bd. 3. Theorie der Kraftmaschinen. — Leipzig: L. Voss, 1890. — xii + 891 S.

Примечания

Литература

• Артоболевский И. И. Теория механизмов. — М. : Наука , 1965. — 776 с.
• Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Кафаров В. В. Основы массопередачи. — М. : Высшая школа , 1972. — 496 с.
• Павловский М. А., Акинфиева Л. Ю., Бойчук О. Ф. Теоретическая механика. Статика. Кинематика. — Киев: Вища школа, 1989. — 351 с. — ISBN 5-11-001177-X .
• Тимошенко С. П. / Пер. с англ. под ред. А. Н. Митинского. — М. : ГИТТЛ, 1957. — 536 с.
• Фролов К. В. , Попов С. А., Мусатов А. К. Теория механизмов и машин / Под ред. К. В. Фролова. — М. : Высшая школа , 1987. — 496 с.
• Юдин В. А., Петрокас Л. В. Теория механизмов и машин. — М. : Высшая школа , 1967. — 528 с.