Гравитацио́нное по́ле , или по́ле тяготе́ния , — фундаментальное физическое поле , через которое осуществляется гравитационное взаимодействие между всеми материальными телами . Создаётся телами, обладающими массой . Количественно характеризуется зависящими от координат напряжённостью ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )}$ (размерность Н /кг, она же м/c ² ) или потенциалом ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )}$ ( Дж /кг, то есть м ² /c ² ).

Гравитационное поле в классической физике

Закон всемирного тяготения Ньютона

В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона , согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$

Здесь ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная , приблизительно равная ${\displaystyle 6{,}673\cdot 10^{-11}}$ м³/(кг с²), ${\displaystyle r}$ — расстояние между точками.

Решение задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие массы нельзя считать материальными точками , подразделяется на два этапа: вначале рассчитывается гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем определяется его действие на массивные тела в изучаемой системе.

Расчёт гравитационного потенциала

Основная статья: Гравитационный потенциал

Гравитационное поле является потенциальным . Его потенциал ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )}$ удовлетворяет уравнению Пуассона:

${\displaystyle \Delta \varphi (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$ ,

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа . Решение данного уравнения имеет вид:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}}$ .

Здесь ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$ — радиус-вектор элемента объёма ${\displaystyle dV^{\prime }}$ c плотностью вещества ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ^{\prime })}$ , а интегрирование охватывает все такие элементы. На бесконечности ${\displaystyle \varphi =0}$ .

В частном случае поля, создаваемого расположенной в начале координат точечной массой ${\displaystyle M}$ , потенциал равен

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G{\frac {M}{r}}}$ .

Этим же выражением описывается потенциал тела со сферически-симметрично распределённой массой ${\displaystyle M}$ , за его пределами.

В общем случае тела произвольной формы на больших расстояниях от него неплохое приближение для потенциала даёт формула :

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}\right),}$

где за начало координат принят центр масс тела, ${\displaystyle A,B,C}$ — главные моменты инерции тела, ${\displaystyle I}$ — момент инерции относительно оси ${\displaystyle \mathbf {r} }$ . Эта формула несколько упрощается для астрономических объектов, представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически однородным распределением масс. У таких тел ${\displaystyle A=B}$ и ${\displaystyle I=A+(C-A)\sin ^{2}\alpha ,}$ где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и плоскостью главных осей ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ . В итоге

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {C-A}{2r^{3}}}(1-3\sin ^{2}\alpha )\right).}$

Движение в гравитационном поле

Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой ${\displaystyle m}$ , находится по формуле:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-m\nabla \varphi (\mathbf {r} )=-Gm\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}}$ .

В частном случае поля точечной массы ${\displaystyle M}$ , расположенной в начале координат ( ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {0} }$ ), действующая сила составит

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-G\,{\frac {mM}{r^{3}}}\,\mathbf {r} }$ .

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера . В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам . Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений .

Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси, проходящей через центр масс :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {H} }{dt}}=\mathbf {K} .}$

Здесь: ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — угловой момент относительно центра масс, ${\displaystyle \mathbf {K} }$ — равнодействующая моментов действующих сил относительно центра масс. Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой источника поля, известен как задача двух тел , и её формулировка сводится к системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух тел (« задача трёх тел ») разрешимо только в нескольких специальных случаях.

Недостатки ньютоновской модели тяготения

Практика показала, что классический закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Однако ньютоновская теория содержала ряд серьёзных недостатков. Главный из них — необъяснимое дальнодействие : сила притяжения передавалась неизвестно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная , как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс : потенциал поля всюду обращается в бесконечность. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: заметное расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия .

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году , с созданием общей теории относительности Эйнштейна , в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик (много меньше ${\displaystyle c^{2}}$ ). В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение ${\displaystyle |\varphi |/c^{2}}$ составляет всего ${\displaystyle 2{,}12\cdot 10^{-6}}$ . Заметным релятивистским эффектом является только указанное выше смещение перигелия .
2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света .

Гравитационное поле в общей теории относительности

В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле является не отдельным физическим понятием, а свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время . Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, без привлечения дополнительных понятий, есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение (« принцип эквивалентности » Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.

Пространство-время ОТО представляет собой псевдориманово многообразие с переменной метрикой. Причиной искривления пространства-времени является присутствие материи, и чем больше её энергия, тем искривление сильнее. В ОТО символы Кристоффеля играют роль гравитационного силового поля, а метрический тензор играет роль гравитационного потенциала. Для определения метрики пространства-времени при известном распределении материи надо решить уравнения Эйнштейна . Ньютоновская же теория тяготения представляет собой приближение ОТО, которое получается, если учитывать только «искривление времени», то есть изменение временно́й компоненты метрики, ${\displaystyle g_{00}}$ (пространство в этом приближении евклидово). Распространение возмущений гравитации, то есть изменений метрики при движении тяготеющих масс, происходит с конечной скоростью , и дальнодействие в ОТО отсутствует.

Другие существенные отличия гравитационного поля ОТО от ньютоновского: возможность нетривиальной топологии пространства, особых точек , гравитационные волны .

См. также

• Уравнение Кеплера
• Гравитационная задача N тел
• Задача Кеплера в общей теории относительности

Примечания

Литература

• Дубошин Г. Н. . Небесная механика. Основные задачи и методы. — М. : Наука , 1968. — 800 с.
• Иваненко Д. Д. , Сарданашвили Г. А. . Гравитация. — 3-е изд. — М. : УРСС, 2008. — 200 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 29. Небесная механика. — М. : Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М. : Мир, 1977.

Ссылки

• Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трёхсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М. : МГУ, 1989. — Вып. 36 . — С. 184—196. .