Interested Article - Теорема Нэша о регулярных вложениях

Теорема Нэша о регулярных вложениях , иногда называемая основная теорема римановой геометрии , — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $m$ -мерное риманово многообразие $(V^{m},\;g)$ класса $C^{r}$ , $3\leqslant r\leqslant \infty$ , допускает изометрическое $C^{r}$ вложение в $\mathbb {R} ^{n}$ для достаточно большого $n$ .

Установлена американским математиком Джоном Нэшем , Нэш также дал явную оценку $n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2$ , которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для $n\geqslant m^{2}+10m+3$ .

В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером . Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга Теренсa Тао и Ральфа Хоурда

Вариации и обобщения

Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для $C^{1}$ -гладких вложений.
Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера . Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство . .
Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем , но существенно позднее .
Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой $(\mathbb {R} ^{2},g)$ $(\mathbb {R} ^{2},g)$ допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство.
- Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.

Примечания

см. стр. 319, Громов М. , Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
Matthias Günther, On the perturbation problem associated to isometric embeddings of Riemannian manifolds, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69—77.
Yang, Deane. "Gunther's proof of Nash's isometric embedding theorem". arXiv : . {{ cite arXiv }} : Шаблон цитирования имеет пустые неизвестные параметры: |version= and |accessdate= ( справка )
Terence Tao от 23 ноября 2022 на Wayback Machine
Ralph Howard от 6 октября 2022 на Wayback Machine
Д. Ю. Бураго , С. В. Иванов . // Алгебра и анализ. — 1993. — Т. 5 , № 1 . — С. 179—192 .
Дж. Нэш . // УМН . — 1971. — Т. 26 , № 4(160) . — С. 217—226 .
Э. Г. Позняк . Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства // УМН . — 1973. — Т. 28 , № 4(172) . — С. 47–76 .