Формула Бине — дифференциальное уравнение, позволяющее определить центральную силу , если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Формулировка

Пусть материальная точка с массой ${\displaystyle m}$ движется под действием центральной силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ . Тогда в полярной системе координат ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle c}$ — так называемая постоянная площадей.

Вывод

Рассмотрим движение материальной точки ${\displaystyle m}$ под действием центральной силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ . Уравнение движения точки ${\displaystyle m{\vec {w}}={\vec {F}}}$ в проекциях на полярные оси ${\displaystyle mw_{r}=F_{r}}$ , ${\displaystyle mw_{\varphi }=F_{\varphi }}$ , где ${\displaystyle F_{\varphi }=0}$ . Радиальное ускорение ${\displaystyle w_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}}$ , трансверсальное ускорение ${\displaystyle w_{\varphi }={\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$ . Получаем ${\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}}$ , ${\displaystyle m({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})=0}$ . Преобразуем второе уравнение: ${\displaystyle ({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}(r^{2}{\dot {\varphi }})=0}$ . Следовательно: ${\displaystyle r^{2}{\dot {\varphi }}=c}$ , где ${\displaystyle c}$ — константа, называемая постоянной площадей. Подставляя значение ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ из ${\displaystyle r^{2}{\dot {\varphi }}=c}$ в уравнение ${\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}}$ , получаем ${\displaystyle m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}}$ . Последовательно находим ${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}={\frac {c}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}=-c{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{r}}\right)}$ , ${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)}$ . Подставляя ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ в ${\displaystyle m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}}$ , находим ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}}$ .

См. также

• Центральная сила
• Законы Кеплера

Литература

• Моисей Иосифович Бать. . — Наука,, 1968. — С. 14. — 632 с.
• Михаил Михайлович Гернет. . — Высшая школа, 1973. — С. 325. — 461 с.
• Жуковский Н. Е. . — Императорское Московское техническое училище , 1910. — 262 с. — ISBN 9785446096053 .

Примечания