Interested Article - Область определения функции

График функции f(x) = √x, область определения которой — все неотрицательные числа

Область определения — множество , на котором задаётся функция . В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве $X$ $X$ задана функция, которая отображает множество $X$ $X$ в другое множество, то множество $X$ $X$ называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция $f$ $f$ , которая отображает множество $X$ $X$ в $Y$ $Y$ , то есть: $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ , то множество $X$ $X$ называется областью определения или областью задания функции $f$ $f$ и обозначается $D(f)$ $D(f)$ или $\mathrm {dom} \,f$ $\mathrm {dom} \,f$ (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве $D$ $D$ некоторого множества $X$ $X$ . В этом случае множество $X$ $X$ называется областью отправления функции $f$ $f$ .

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции . Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ ;
а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ ,

где $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции $f(x)=x$ $f(x)=x$ совпадает с областью отправления ( $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ).

Гармоническая функция

Область определения функции $f(x)=1/x$ $f(x)=1/x$ представляет собой комплексную плоскость без нуля:

\mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}

{\mathrm {dom}}\,f={\mathbb {C}}\setminus \{0\}

,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0

b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0

.

Эти точки называются полюсами функции $f$ $f$ .

Так, функция $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}$ $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}$ определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где $x^{2}-4\neq 0$ $x^{2}-4\neq 0$ . Таким образом $\mathrm {dom} \,f$ $\mathrm {dom} \,f$ является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества .

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка .

Функционал

Пусть $\mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}$ ${\mathbb {F}}=\{f\mid f\colon X\to {\mathbb {R}}\}$ — семейство отображений из множества $X$ $X$ в множество $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ . Тогда можно определить отображение вида $F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R}$ $F\colon {\mathbb {F}}\to {\mathbb {R}}$ . Такое отображение называется функционалом .

Если, например, фиксировать некоторую точку $x_{0}\in ~X$ $x_{0}\in ~X$ , то можно определить функцию $F(f)=f(x_{0})$ $F(f)=f(x_{0})$ , которая принимает в «точке» $f$ $f$ то же значение, что и сама функция $f$ $f$ в точке $x_{0}$ $x_{0}$ .

См. также

Область значений функции

Примечания

В. А. Садовничий . Теория операторов. — М. : Дрофа, 2001. — С. 10. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X .
В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 3. Теория пределов // / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 . 23 июня 2015 года.
В. А. Зорич . Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М. : МЦНМО, 2002. — С. 12—14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9 .

Литература

Функция, математический энциклопедический словарь . — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
Клейн Ф. . В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
, Л. Л. Максимова . Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. . — М. : Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X .
А. Н. Колмогоров , С. В. Фомин . Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. . — М. : Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. . — М. : Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
В. А. Зорич . Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М. : Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
Г. Е. Шилов . Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М. : Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
А. Н. Колмогоров . // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М. : «Наука» , 1970. — № 1 . — С. 27—36 . — ISSN .