Interested Article - Треугольник Хосойя

Треугольник Фибоначчи или треугольник Хосойя — это треугольник, составленный из чисел (подобно треугольнику Паскаля ) на основе чисел Фибоначчи . Каждое число является суммой двух чисел выше по левой или правой диагонали (например, соотношения 16 + 24 = 40 = 15 + 25 выделены на диаграмме ниже). Первые несколько строк треугольника:

                                                1
                                             1     1
                                          2     1     2
                                       3     2     2     3
                                    5     3     4     3     5
                                 8     5     6     6     5     8
                             13     8    10     9    10     8    13
                          21    13    16    15    15    16    13    21
                       34    21    26    24    25    24    26    21    34
                    55    34    42    39    40    40    39    42    34    55
                 89    55    68    63    65    64    65    63    68    55    89
             144    89   110   102   105   104   104   105   102   110    89   144
                                             И т. д.

(См. последовательность в OEIS ).

Название

Предпочтительным является название «треугольник Хосоя», в честь японского химика и математика (англ.) ( , который первым предложил такой треугольник в 1976 году . Название «треугольник Фибоначчи» может привести к путанице, так как оно использовалось для обозначения других математических объектов в более поздних работах .

Рекуррентное соотношение

Числа в этом треугольнике удовлетворяют рекуррентным формулам

H (0, 0) = H (1, 0) = H (1, 1) = H (2, 1) = 1

и

H ( n , j ) = H ( n − 1, j ) + H ( n − 2, j )

= H ( n − 1, j − 1) + H ( n − 2, j − 2).

Связь с числами Фибоначчи

Элементы треугольника удовлетворяют тождеству

H ( n , i ) = F ( i + 1) × F ( n − i + 1).

Две крайние диагонали являются числами Фибоначчи, числа же в среднем вертикальном столбце являются квадратами чисел Фибоначчи. Все другие числа треугольника представляются в виде произведения двух различных чисел Фибоначчи, больших единицы. Суммы по строкам треугольника дают элементы свёрнутой последовательности Фибоначчи .

Примечания

Haruo Hosoya (1976), «Fibonacci Triangle», The Fibonacci Quarterly, vol. 14, no. 2, p. 173—178.
Brad Wilson (1998), «The Fibonacci triangle modulo p ». The Fibonacci Quarterly, vol. 36, no. 3, p. 194—203.
Ming Hao Yuan (1999), «A result on a conjecture concerning the Fibonacci triangle when k=4» (In Chinese). Journal of Huanggang Normal University, vol. 19, no. 4, p. 19—23.