Произведение топологических пространств — это топологическое пространство , полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией . Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству .

Данная топология была введена советским математиком Андреем Тихоновым в 1926 году .

Определения

Пусть:

${\displaystyle \{X_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ — семейство топологических пространств,

${\displaystyle X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$ — их декартово произведение (как множеств),

${\displaystyle p_{\alpha }:X\to X_{\alpha }}$ — проекция произведения на соответствующий сомножитель.

Тихоновская топология на ${\displaystyle X}$ — это наиболее грубая топология (то есть топология с наименьшим числом открытых множеств ), для которой все проекции ${\displaystyle p_{\alpha }}$ непрерывны . Открытые множества этой топологии — всевозможные объединения множеств вида ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$ , где каждое ${\displaystyle U_{i}}$ является открытым подмножеством ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ только для конечного числа индексов. В частности, открытые множества произведения конечного числа пространств — это просто объединения произведений открытых подмножеств исходных пространств.

Также топологию Тихонова можно описать следующим образом: в качестве предбазы топологии на ${\displaystyle X}$ берётся семейство множеств ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}}$ . База топологии — всевозможные конечные пересечения множеств из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ , а топология — всевозможные объединения множеств из базы.

Тихоновская топология является более слабой , чем так называемая «коробочная» топология, для которой базу топологии образуют всевозможные произведения открытых подмножеств перемножаемых пространств. Такая топология не обладает указанным выше универсальным свойством и для неё не верна теорема Тихонова .

Примеры

Обычная топология на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (топология, индуцированная метрикой ) является топологией произведения на декартовой степени ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Канторово множество гомеоморфно произведению счётного числа копий дискретного пространства {0,1}, а пространство иррациональных чисел — произведению счётного числа пространств натуральных чисел (с дискретной топологией).

Свойства

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ вместе с проекциями на каждую компоненту ${\displaystyle X_{i}}$ может быть определено при помощи универсального свойства : если ${\displaystyle Y}$ — произвольное топологическое пространство и для каждого ${\displaystyle i\in I}$ задано непрерывное отображение ${\displaystyle Y\to X_{i},}$ то существует единственное отображение ${\displaystyle Y\to X,}$ такое что для каждого ${\displaystyle i\in I}$ следующая диаграмма коммутативна:

Это показывает, что тихоновское произведение является произведением в категории топологических пространств . Из универсального свойства следует, что отображение ${\displaystyle f:Y\to X}$ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно каждое отображение ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f,}$ во многих ситуациях непрерывность ${\displaystyle f_{i}}$ проверять проще.

Проекции ${\displaystyle p_{i}}$ являются не только непрерывными, но и (то есть каждое открытое множество произведения при проекции на компоненту переходит в открытое множество). Обратное, вообще говоря, неверно (контрпример — подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ являющееся дополнением открытого круга). Также проекции не обязательно являются замкнутыми отображениями (контрпример — образы проекций замкнутого множества ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},}$ на координатные оси не являются замкнутыми подмножествами прямой).

Топологию произведения иногда называют топологией поточечной сходимости. Причина этого следующая: последовательность элементов из произведения сходится тогда и только тогда, когда её образ при проекции на каждую компоненту сходится. Например, топология произведения на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{I},}$ пространстве действительнозначных функций на ${\displaystyle I,}$ — это топология, в которой последовательность функций сходится тогда, когда она сходится поточечно.

Связь с другими топологическими понятиями

Аксиомы отделимости :

• Произведение ${\displaystyle T_{0}}$ -пространств обладает свойством ${\displaystyle T_{0}}$ .
• Произведение ${\displaystyle T_{1}}$ -пространств обладает свойством ${\displaystyle T_{1}}$ .
• Произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.
• Произведение регулярных пространств регулярно.
• Произведение вполне регулярных пространств вполне регулярно.
• Произведение нормальных пространств не всегда является нормальным .

Компактность :

• Произведение компактных пространств компактно .
• Произведение локально компактных пространств не всегда является локально компактным. Однако произведение семейства локально компактных пространств, в котором все компоненты, кроме конечного числа, являются компактными, локально компактно.

Связность :

• Произведение связных (соответственно, линейно связных) пространств связно (соответственно, линейно связно).
• Произведение вполне несвязных пространств вполне несвязно.

Компактность тихоновских произведений

Теорема Тихонова : если все множества ${\displaystyle X_{\alpha }}$ компактны , тогда компактно и их тихоновское произведение.

Для доказательства утверждения, согласно теореме Александера о предбазе , достаточно доказать, что всякое покрытие элементами предбазы ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ допускает конечное подпокрытие. Для всякого ${\displaystyle \alpha }$ пусть ${\displaystyle V_{\alpha }}$ — объединение всех множеств ${\displaystyle U\in X_{\alpha }}$ , для которых множество ${\displaystyle \pi _{\alpha }^{-1}(U)}$ содержится в покрытии. Тогда непокрытая часть пространства X выражается формулой:

${\displaystyle \prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }}$ .

Поскольку это множество пусто, пустым должен быть хотя бы один сомножитель. Это означает, что рассматриваемое покрытие при некотором ${\displaystyle \alpha }$ содержит ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$ -прообраз покрытия пространства ${\displaystyle X_{\alpha }}$ . В силу компактности пространства ${\displaystyle X_{\alpha }}$ , из его покрытия можно выделить конечное подпокрытие, и тогда его прообраз относительно отображения ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$ будет конечным подпокрытием пространства ${\displaystyle X}$ .

См. также

• Тихоновский куб

Примечания

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М. : Мир , 1986. — 752 с.