Бимодуль — это абелева группа , являющаяся одновременно правым модулем и левым модулем (возможно, над другим кольцом), причём эти две структуры согласованы. Понятие бимодуля играет проясняющую роль: взаимосвязи между левыми и правыми модулями становятся более простыми, будучи выражены в терминах бимодулей.

Определение

Пусть R и S — два кольца , тогда ( R , S )-бимодуль — это абелева группа M , такая что

1. M является левым R -модулем и правым S -модулем.
2. Для любых ${\displaystyle r\in R,s\in S,m\in M:}$

${\displaystyle (rm)s=r(ms).}$

( R , R )-бимодуль называют также R -бимодулем.

Примеры

• Для любых натуральных чисел m и n множество всех матриц размера n × m с действительными элементами является ( R , S )-бимодулем, где R — кольцо матриц размера n × n и S — кольцо матриц размера m × m . Сложение и умножение определяются как сложение и умножение матриц , размеры матриц выбраны таким образом, чтобы эти операции были определены.
• Если R — кольцо, не обязательно коммутативное, то R является R -бимодулем. Также им является R ⁿ — прямое произведение n копий R .
• Любой двусторонний идеал в кольце R является R -бимодулем.
• Любой модуль над коммутативным кольцом R можно наделить естественной структурой бимодуля, определив умножение справа так же, как умножение слева. (Не все бимодули над коммутативным кольцом имеют такой вид).
• Если M — левый R -модуль, то M является ( R , Z )-бимодулем, где Z — кольцо целых чисел. Аналогичным образом, правые R -модули можно рассматривать как ( Z , R )-бимодули, а абелевы группы — как ( Z , Z )-бимодули.
• Если R — подкольцо кольца S , то S является R -бимодулем.

Дальнейшие определения и свойства

Если M и N — ( R , S )-бимодули, отображение f : M → N является гомоморфизмом бимодулей тогда и только тогда, когда оно является гомоморфизмом структур левого и правого модулей.

( ${\displaystyle R}$ , ${\displaystyle S}$ )-бимодуль, на самом деле, то же самое, что левый модуль над кольцом ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}}$ , где S ^op — противоположное кольцо к S (порядок умножения в нём обращается). Гомоморфизмы бимодулей — то же самое, что гомоморфизмы левых ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}}$ -модулей. Используя эти факты, многие утверждения о модулях можно перевести на язык бимодулей. В частности, категория ( R , S )-бимодулей является абелевой и для неё верны обычные теоремы об изоморфизме .

Однако у бимодулей есть и особенные свойства, в частности, в том, что касается тензорного произведения . Если M — ( R , S )-бимодуль и N — ( S , T )-бимодуль, то их тензорное произведение (как модулей над S ) является ( R , T )-бимодулем. Тензорное произведение бимодулей ассоциативно (с точностью до канонического изоморфизма), поэтому можно построить категорию, объекты которой — кольца, а морфизмы — бимодули. Более того, если M является ( R , S )-бимодулем и L является ( T , S )-бимодулем, то множество Hom _S ( M , L ) гомоморфизмов из M в L имеет структуру ( T , R )-бимодуля. Эти утверждения можно распространить на производные функторы Ext и .

Заметим также, что бимодули не связаны с биалгебрами , сходство в названии случайно.

Литература

• Jacobson, N. (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9 . P. 133—136.
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3 . P. 517—518.