Коническая комбинация ( коническая сумма , взвешенная сумма ) — операция над конечным набором векторов ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ в евклидовом пространстве , сопоставляющая этому набору вектор вида:

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$ ,

где все числа ${\displaystyle \alpha _{i}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0}$ .

Название связано с фактом, что коническая сумма векторов определяет конус (возможно, в подпространстве меньшей размерности).

Коническая оболочка — множество всех конических комбинаций для данного множества ${\displaystyle S}$ , обозначается ${\displaystyle \operatorname {cone} (S)}$ или ${\displaystyle \operatorname {coni} (S)}$ . То есть:

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)=\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\;{\Big |}\;x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0,i,k=1,2,\dots \right\rbrace }$ .

По определению начало координат принадлежит всем коническим оболочкам.

Коническая оболочка множества ${\displaystyle S}$ является выпуклым множеством . Фактически она является пересечением всех выпуклых конусов , содержащих ${\displaystyle S}$ , объединённым с началом координат . Если ${\displaystyle S}$ является компактным пространством (в частности, если оно состоит из конечного числа точек), добавление начала координат к пересечению всех выпуклых конусов не требуется.

Если поделить каждый коэффициент конической комбинации на сумму всех её коэффициентов, то станет ясно, что всякая ненулевая коническая комбинация представляет собой масштабированную . В этой связи конические комбинации и конические оболочки могут рассматриваться как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве .

Хотя выпуклая оболочка компактного множества также является компактным множеством, для конической оболочки это неверно, так как в общем случае она не ограничена. Более того, коническая оболочка компакта даже не обязательно будет замкнутым множеством — контрпримером служит сфера , проходящая через начало координат, конической оболочкой которой является открытое полупространство плюс начало координат. Однако если ${\displaystyle S}$ является непустым компактным множеством, не содержащим начало координат, коническая оболочка множества ${\displaystyle S}$ является замкнутым множеством .

Примечания