Гипотеза Кёте — проблема в теории колец , остающаяся открытой по состоянию на 2022 год. Гипотеза может формулироваться различными способами. Пусть R — кольцо . Один из способов формулировки гипотезы — R если не имеет , отличного от ${\displaystyle \{0\}}$ , тогда оно не имеет одностороннего ниль-идеала , отличного от ${\displaystyle \{0\}}$ .

Вопрос поставил в 1930 году Готтфрид Кёте (1905–1989). Было показано, что гипотеза Кёте верна для различных классов колец, таких как и правые нётеровы кольца , но общее утверждение остаётся недоказанным.

Эквивалентные формулировки

Гипотеза имеет несколько различных формулировок :

1. В любом кольце сумма двух левых ниль-идеалов является ниль-идеалом.
2. В любом кольце сумма двух односторонних ниль-идеалов является ниль-идеалом.
3. В любом кольце любой левый или правый ниль-идеал кольца содержится в кольца.
4. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(J)}$ является ниль-идеалом ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$ для любого n .
5. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}(J)}$ является ниль-идеалом ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}(R)}$ .
6. Для любого кольца R верхний ниль-радикал ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$ является набором матриц с элементами из верхнего ниль-радикала кольца R для любого положительного целого n .
7. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R многочлены с переменной x и коэффициентами из J лежат в радикале Джекобсона полиномиального кольца R [ x ].
8. Для любого кольца R радикал Джекобсона R [ x ] состоит из многочленов с коэффициентами из верхнего ниль-радикала кольца R .

Связанные проблемы

Гипотеза Амицура гласит: «Если J является ниль-идеалом в R , то J [ x ] является ниль-идеалом в полиномиальном кольце R [ x ]» . Если эта гипотеза верна, то она помогла бы доказать гипотезу Кёте посредством эквивалентых утверждений приведенных выше, однако Агата Смоктунович предоставила контрпример . Хотя это не опровергает гипотезу Кёте, возникает подозрение, что гипотеза Кёте может оказаться неверной .

В статье Кегеля было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подколец, само нильпотентно. Возникает вопрос, можно ли заменить здесь «нильпотентных» на «локально нильпотентных» или «ниль-колец». Частичный прогресс был, когда Келарев привёл пример кольца, не являющегося ниль-кольцом, но являющегося суммой двух локально нильпотентных колец. Это показывает, что вопрос Кегеля о замене на «локально нильпотентных» имеет отрицательный ответ.

Сумма нильпотентного подкольца и ниль-подкольца всегда является ниль-кольцом .

Примечания

Литература

Ссылка

• от 5 февраля 2022 на Wayback Machine
• от 27 декабря 2021 на Wayback Machine