Interested Article - Гипотеза Кёте

Гипотеза Кёте — проблема в теории колец , остающаяся открытой по состоянию на 2022 год. Гипотеза может формулироваться различными способами. Пусть R кольцо . Один из способов формулировки гипотезы — R если не имеет , отличного от , тогда оно не имеет одностороннего ниль-идеала , отличного от .

Вопрос поставил в 1930 году Готтфрид Кёте (1905–1989). Было показано, что гипотеза Кёте верна для различных классов колец, таких как и правые нётеровы кольца , но общее утверждение остаётся недоказанным.

Эквивалентные формулировки

Гипотеза имеет несколько различных формулировок :

  1. В любом кольце сумма двух левых ниль-идеалов является ниль-идеалом.
  2. В любом кольце сумма двух односторонних ниль-идеалов является ниль-идеалом.
  3. В любом кольце любой левый или правый ниль-идеал кольца содержится в кольца.
  4. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал является ниль-идеалом для любого n .
  5. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал является ниль-идеалом .
  6. Для любого кольца R верхний ниль-радикал является набором матриц с элементами из верхнего ниль-радикала кольца R для любого положительного целого n .
  7. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R многочлены с переменной x и коэффициентами из J лежат в радикале Джекобсона полиномиального кольца R [ x ].
  8. Для любого кольца R радикал Джекобсона R [ x ] состоит из многочленов с коэффициентами из верхнего ниль-радикала кольца R .

Связанные проблемы

Гипотеза Амицура гласит: «Если J является ниль-идеалом в R , то J [ x ] является ниль-идеалом в полиномиальном кольце R [ x . Если эта гипотеза верна, то она помогла бы доказать гипотезу Кёте посредством эквивалентых утверждений приведенных выше, однако Агата Смоктунович предоставила контрпример . Хотя это не опровергает гипотезу Кёте, возникает подозрение, что гипотеза Кёте может оказаться неверной .

В статье Кегеля было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подколец, само нильпотентно. Возникает вопрос, можно ли заменить здесь «нильпотентных» на «локально нильпотентных» или «ниль-колец». Частичный прогресс был, когда Келарев привёл пример кольца, не являющегося ниль-кольцом, но являющегося суммой двух локально нильпотентных колец. Это показывает, что вопрос Кегеля о замене на «локально нильпотентных» имеет отрицательный ответ.

Сумма нильпотентного подкольца и ниль-подкольца всегда является ниль-кольцом .

Примечания

  1. , с. 484.
  2. , с. 164.
  3. , с. 121-130.
  4. , с. 171.
  5. , с. 160.
  6. , с. 47–65.
  7. , с. 427–436.
  8. , с. 103-9.
  9. , с. 431–435.
  10. , с. 4–10.

Литература

  • John C. McConnell, James Christopher Robson, Lance W. Small. Noncommutative Noetherian rings. — 2001. — Т. 30. — (Grasuate studies in mathematics). — ISBN 0-8218-2169-5 .
  • Gottfried Köthe. Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Т. 32 , вып. 1 . — С. 161–186 . — doi : .
  • Krempa J. Logical connections between some open problems concerning nil rings // Fundamenta Mathematicae. — 1972. — Т. 76 , № 2 .
  • Tsit Yuen Lam. Exercises in Classical Ring Theory. — Springer Science+Business Media, LLC, 2003. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4757-3989-3 .
  • Amitsur S. A. =Nil radicals. Historical notes and some new results. Rings, modules and radicals (Proc. Internat. Colloq., Keszthely 1971) // Colloq. Math. Soc. János Bolyai. — Amsterdam: North-Holland, 1973. — Т. 6 .
  • Agata Smoktunowicz. Polynomial rings over nil rings need not be nil // J. Algebra. — 2000. — Т. 233 , № 2 .
  • Tsit Yuen Lam. A First Course in Noncommutative Rings. — Springer-Verlag, 2001. — Т. 131. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-97523-3 . — ISBN 0-540-97523-3 .
  • Kelarev A. V. A sum of two locally nilpotent rings may not be nil // Archiv der Mathematik. — 1993. — Вып. 60 .
  • Ferrero M., Puczylowski E. R. On rings which are sums of two subrings // Archiv der Mathematik. — 1989. — Вып. 53 .
  • Otto H. Kegel. // JOURNAL of ALGEBRA. — 1964. — Вып. 1 .

Ссылка

Источник —

Same as Гипотеза Кёте