Древнеегипетское умножение (известное также как египетское умножение , эфиопское умножение , русское умножение или крестьянское умножение ) — это один из двух методов умножения двух чисел, который не требует знания таблицы умножения , а только умение умножать и делить на 2 и умение складывать . Метод раскладывает один из множителей (чаще всего наименьший) на сумму степеней двойки и создаёт таблицу удвоения второго множителя. Этот метод можно назвать методом нахождения середины и удвоения , где нахождение середины означает деление одного числа пополам, а удвоение означает увеличение другого числа в два раза. Метод всё ещё применяется в некоторых регионах .

Вторая техника египетского умножения и деления известна из иератических математических папирусов — московского и папируса Ринда , написанного в семнадцатом веке писарем Ахмесом .

Хотя в древнем Египте концепции двоичной системы не было, алгоритм является, по существу, алгоритмом , в котором множители предварительно преобразуются в двоичные числа . Таким образом, если понимать метод как умножение чисел в двоичном виде, он широко применяется и в современности в вычислительных блоках процессоров .

Метод

Древние египтяне составляли таблицы больших степеней двойки, не вычисляя их каждый раз. Разложение числа состояло в нахождении степеней, которые в сумме составляют число. Египтяне эмпирически знали, что данная степень двух только один раз появляется в разложении числа в сумму. Для разложения числа был систематический подход: сначала находили наибольшую степень двойки, не превосходящую число, а потом найденная степень вычиталась из числа, и процесс повторялся, пока число не исчерпывалось. Египтяне не использовали число ноль .

После разложения первого множителя строилась таблица умножения степеней двойки на второй множитель (обычно меньший) от единицы до максимальной степени, найденной в процессе разложения.

Результат получается путём сложения тех чисел из второй колонки, для которых соответствующая степень двойки присутствует в разложении первого множителя .

Пример

25 × 7 = ?

Разложение числа 25:

Наибольшая степень двойки, не превосходящая 25	равна 16:	25 − 16	= 9 .
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 9	равна 8:	9 − 8	= 1 .
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 1	равна 1:	1 − 1	= 0 .
25 есть сумма чисел 16, 8 и 1.

Составляем таблицу умножения 7 на степени двойки:

1	7
2	14
4	28
8	56
16	112

Поскольку 25 = 16 + 8 + 1, соответствующие умножения их на 7 и сложение даёт 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175.

Умножение русских крестьян

В методе умножения русских крестьян степени двойки в разложении одного из множителей находятся путём выписывания его слева и процесса последовательного деления пополам очередного числа в левом столбце. Остаток отбрасывается, и процесс продолжается, пока значение не станет равным 1 (или −1, в этом случае в конце сумму вычитают). При этом правый столбец последовательно увеличивается в два раза, как и в предыдущем методе. Строки с чётными числами в левом столбце вычёркиваются, а оставшиеся числа в правом столбце складываются .

Пример

238 × 13 = ?

13		238
6	(остаток отбрасывается)	476
3		952
1	(остаток отбрасывается)	1904

13	238
6	476
3	952
1	+ 1904
	3094

См. также

• Египетские дроби
• Математика в Древнем Египте
• Двоичная система счисления
• Книга Бхарати Кришны

Примечания

Литература

Другие источники

• Carl B. Boyer. . — New York: John Wiley, 1968.
• Kevin S. Brown. Egyptian Unit Fractions. // The Akhmin Papyrus. — 1995.
• Maxim Bruckheimer, Y. Salomon. Some Comments on R. J. Gillings' Analysis of the 2/n Table in the Rhind Papyrus // Historia Mathematica. — 1977. — Вып. 4 . — С. 445–52 .
• Evert M. Bruins. Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken.. — Leiden: E. J. Brill., 1953.
• Platon et la table égyptienne 2/n, // Janus. — 1957. — Вып. 46 . — С. 253–63 .
• Evert M Bruins. Egyptian Arithmetic // Janus. — 1981. — Вып. 68 . — С. 33–52 .
• Reducible and Trivial Decompositions Concerning Egyptian Arithmetics // Janus. — 1981. — Вып. 68 . — С. 281–97 .
• David M. Burton. . — Boston: Wm. C. Brown, 2003.
• Arnold Buffum Chace, et al. The Rhind Mathematical Papyrus. — Oberlin: Mathematical Association of America, 1927.
• Roger Cooke. . — New York: John Wiley & Sons, 1997.
• Sylvia Couchoud. Mathématiques égyptiennes // Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique.. — Paris,: Le Léopard d'Or, 1993.
• Georges Daressy. Akhmim Wood Tablets // Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale. — 1901. — С. 95–96.
• Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. — New York: Holt, Rinehard & Winston, 1961.
• David H. Fowler. The mathematics of Plato's Academy: a new reconstruction. — Oxford Univ. Press, 1999.
• Alan H. Gardiner. Egyptian Grammar being an Introduction to the Study of Hieroglyphs. — Oxford University Press, 1957.
• Milo Gardner. The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term // in History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds). — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. — С. 119-34.
• Mathematical Roll of Egypt // Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. — Springer, 2005.
• Richard J. Gillings. The Egyptian Mathematical Leather Roll // Australian Journal of Science. — 1962. — С. 339–44 . Reprinted in his (1972) Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. Reprinted by Dover Publications, 1982.
• The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It? // Archive for History of Exact Sciences. — 1974. — Вып. 12 . — С. 291–98 .
• The Recto of the RMP and the EMLR // Historia Mathematica. — Toronto, 1979. — Вып. 6 . — С. 442–447 .
• The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it? // Historia Mathematica. — 1981. — С. 456–57 .
• Glanville S.R.K. The Mathematical Leather Roll in the British Museum // Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1927. — Вып. 13 . — С. 232–8 .
• Francis Llewelyn Griffith. The Petrie Papyri. Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom). — London: Bernard Quaritch, 1898. — Т. 1, 2.
• Battiscombe George Gunn. Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T. E. Peet // The Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1926. — Вып. 12 . — С. 123–137 .
• Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun // Übersicht über die Lehre von den Zerlegangen. — 1895. — Вып. 8 . — С. 167-71 .
• Annette Imhausen. Egyptian Mathematical Texts and their Contexts // Science in Context. — Cambridge (UK), 2003. — Вып. 16 . — С. 367–389 .
• George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock/the non-European Roots of Mathematics. — Princeton: Princeton University Press, 2000.
• Victor Klee , Stan Wagon. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. — Mathematical Association of America, 1991.
• Wilbur R. Knorr. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece // Historia Mathematica. — Berlin, 1982. — Вып. 9 . — С. 133–171 .
• John A.R. Legon. A Kahun Mathematical Fragment // Discussions in Egyptology. — Oxford, 1992. — Вып. 24 .
• Lüneburg H. Zerlgung von Bruchen in Stammbruche // Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: Wissenschaftsverlag, 1993. — С. 81=85.
• Otto E. Neugebauer. . — 2. — Dover Publications , 1969. — ISBN 978-0-486-22332-2 .
• Gay Robins, Charles Shute. . — London: British Museum Press, 1987.
• Roero C. S. Egyptian mathematics // Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences / I. Grattan-Guinness (ed). — London, 1994. — С. 30–45.
• George Sarton. Introduction to the History of Science. — New York: Williams & Son, 1927. — Т. I.
• Scott A., Hall H.R. Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC // British Museum Quarterly. — London, 1927. — Т. 2 , вып. 56 .
• Sylvester J. J. On a Point in the Theory of Vulgar Fractions // American Journal of Mathematics. — Baltimore, 1880. — Вып. 3 .
• Kurt Vogel. Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik. — Berlin: Julius Schuster, 1929. — Т. 2. — С. 386-407.
• van der Waerden, Bartel Leendert. Science Awakening. — New York, 1963.
• Hana Vymazalova. The Wooden Tablets from Cairo:The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt // Archiv Orientalai. — Prague: Charles U, 2002.

Ссылки

• RMP 2/n table
• Egyptian Mathematical Leather Roll
• Math forum and two ways to calculate 2/7
• from cut-the-knot
• by Ken Caviness, .
• at