Interested Article - Компактификация Бора


- 2021-02-01
- 2
Компактификация Бора топологической группы G — это бикомпактная топологическая группа H , которая может быть канонически ассоциирована с группой G . Её важность состоит в сведении теории равномерно почти периодических функций на G к теории непрерывных отображений на H . Концепция названа именем датского математика Харальда Бора , который первым начал изучение почти периодических функций на вещественной прямой .
Определения и основные свойства
Если задана топологическая группа G , компактификация Бора группы G — это бикомпактная топологическая группа и непрерывный гомоморфизм
который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы. Это означает, что если K является другой бикомпактной топологической группой и
является непрерывным гомоморфизмом, то имеется единственный непрерывный гомоморфизм
такой что f = Bohr ( f ) ∘ b .
Теорема . Компактификация Бора существует и единственна с точностью до изоморфизма.
Обозначим компактификацию Бора группы G через а каноническое отображение через
Соответствие определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.
Компактификация Бора тесно связана с теорией конечномерных топологических групп. Ядро группы b состоит в точности из тех элементов группы G , которые не могут быть отделены от тождественного элемента группы G конечномерным унитарным представлением.
Компактификация Бора сводит также многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам функций на компактных группах.
Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является однородно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых переносов , где
относительно компактно в равномерной топологии при изменении g в G .
Теорема . Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G равномерно почти периодична, если существует непрерывная функция на (единственно определённая), такая что
Максимально почти периодические группы
Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (МПП группами). В случае, если G локально компактная связная группа, МПП группы полностью определены — это в точности произведение компактных групп на векторные группы конечной размерности.
См. также
Примечания
- , с. 37 Definition 3.1.2.
- , с. 3.
- , с. 34 Theorem 3.1.1.
- , с. 39 Theorem 3.1.4.
Литература
- JAKUB GISMATULLIN, GRZEGORZ JAGIELLA, KRZYSZTOF KRUPINSKI. . — 2020. — arXiv : .
- Yihan Zhu. . — University of Windsor, 2019. — (Theses, Dissertations, and Major Papers).
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

- 2021-02-01
- 2