Компактификация Бора топологической группы G — это бикомпактная топологическая группа H , которая может быть канонически ассоциирована с группой G . Её важность состоит в сведении теории равномерно почти периодических функций на G к теории непрерывных отображений на H . Концепция названа именем датского математика Харальда Бора , который первым начал изучение почти периодических функций на вещественной прямой .

Определения и основные свойства

Если задана топологическая группа G , компактификация Бора группы G — это бикомпактная топологическая группа ${\displaystyle \mathbf {Bohr} (G)}$ и непрерывный гомоморфизм

${\displaystyle \mathbf {b} \colon G\to \mathbf {Bohr} (G),}$

который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы. Это означает, что если K является другой бикомпактной топологической группой и

${\displaystyle f\colon G\to K}$

является непрерывным гомоморфизмом, то имеется единственный непрерывный гомоморфизм

${\displaystyle \mathbf {Bohr} (f)\colon \to K,}$

такой что ${\displaystyle f=\mathbf {Bohr} (f)\circ b}$ f = Bohr ( f ) ∘ b .

Теорема . Компактификация Бора существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Обозначим компактификацию Бора группы G через ${\displaystyle \mathbf {Bohr} (G),}$ а каноническое отображение через

${\displaystyle \mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {Bohr} (G).}$

Соответствие ${\displaystyle G\mapsto \mathbf {Bohr} (G)}$ определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

Компактификация Бора тесно связана с теорией конечномерных топологических групп. Ядро группы b состоит в точности из тех элементов группы G , которые не могут быть отделены от тождественного элемента группы G конечномерным унитарным представлением.

Компактификация Бора сводит также многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам функций на компактных группах.

Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является однородно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых переносов ${\displaystyle _{g}f}$ , где

${\displaystyle [{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x),}$

относительно компактно в равномерной топологии при изменении g в G .

Теорема . Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G равномерно почти периодична, если существует непрерывная функция ${\displaystyle f_{1}}$ на ${\displaystyle \mathbf {Bohr} (G)}$ (единственно определённая), такая что

${\displaystyle f=f_{1}\circ \mathbf {b} .}$

Максимально почти периодические группы

Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (МПП группами). В случае, если G локально компактная связная группа, МПП группы полностью определены — это в точности произведение компактных групп на векторные группы конечной размерности.

См. также

• Компактное пространство
• Компактификация
• Множество с отмеченной точкой
• Компактификация Стоуна — Чеха

Примечания

Литература

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4