Компактификация Волмэна — Шанина — это компактификация , которую построил Волмэн .

Определение

Точками компактификации ${\displaystyle {\omega }X}$ Волмэна пространства X являются максимальные собственные фильтры в частично упорядоченном множестве замкнутых подмножеств X . В явном виде, точка множества ${\displaystyle {\omega }X}$ — это семейство ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнутых непустых подмножеств множества X , таких что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнуто онтосительно конечных пересевений и максимально среди всех семейств, обладающих такими свойствами. Для любого закрытого подмножества F из X класс ${\displaystyle \Phi _{F}}$ точек ${\displaystyle {\omega }X}$ , содержащих F замкнут в ${\displaystyle {\omega }X}$ . Топология ${\displaystyle {\omega }X}$ порождается этими замкнутыми классами. Множество ${\displaystyle {\omega }X}$ с порождённой топологией называется расширением Волмэна пространства X .

Теорема: Для каждого ${\displaystyle T_{1}}$ пространства X его волмэновское расширение ${\displaystyle {\omega }X}$ является компактным ${\displaystyle T_{1}}$ пространством, содержащим X в качестве всюду плотного подпространства, причём каждое непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ пространства X в произвольный компакт Z можно продолжить до непрерывного отображения ${\displaystyle F\colon {\omega }X\to Z}$ .

Специальные случаи

Теорема: Волмэновское расширение ${\displaystyle {\omega }X}$ пространства X является хаусдорфорвым пространством в том и только в том случае, если X нормально .

Следствие: Если пространство X нормально, то его волмэновское расширение ${\displaystyle {\omega }X}$ является компактификацией пространства X , эквивалентной стоун-чеховской компактификации этого пространства .

См также

• Решётка (алгебра)

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно : Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . Проверить статью на грамматические, орфографические и пунктуационные ошибки. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.