Комплекс Вьеториса — Рипса , называемый также комплексом Вьеториса или Комплексом Рипса − способ образования топологического пространства из расстояний в множестве точек. Это , который может быть определён из любого метрического пространства M и расстояния ${\displaystyle \delta }$ путём образования симплекса для любого конечного множества точек, имеющего диаметр , не превосходящий ${\displaystyle \delta }$ . То есть это семейство конечных подмножеств метрического пространства M , под которым понимается подмножество из k точек как ( k −1)-мерный симплекс (ребро для двух точек, треугольник для трёх, тетраэдр для четырёх и т.д.). Если же конечное множество S обладает свойством, при котором расстояние между любой парой точек в S не превосходит ${\displaystyle \delta }$ , то S включается в качестве симплекса в комплекс.

История

Комплекс Вьеториса — Рипса первоначально назывался комплексом Вьеториса в честь Леопольда Вьеториса , который ввёл его как средство расширения теории гомологий из симплициальных комплексов метрических пространств . После того, как Илья Аронович Рипс употребил некоторые комплексы для изучения гиперболических групп , их применения популяризировал Михаил Леонидович Громов , который назвал их комплексами Рипса . Название «Комплекс Вьеториса — Рипса» принадлежит Хаусману .

Связь с комплексами Чеха

Комплекс Вьеториса — Рипса тесно связан с комплексом Чеха (или нервом ) множества шаров , который имеет симплекс для любого конечного подмножества шаров с ненулевым пересечением. В Y комплекс Вьеториса — Рипса любого подпространства ${\displaystyle X\subset Y}$ для расстояния ${\displaystyle \delta }$ имеет те же самые точки и рёбра, что и комплекс Чеха множества шаров радиуса ${\displaystyle \delta /2}$ в Y , имеющих центры в точках множества X . Однако, в отличие от комплекса Чеха, комплекс Вьеториса — Рипса для X зависит только от внутренней геометрии X , а не от какого-либо вложения X в некоторое большее пространство.

Как пример, рассмотрим однородное метрическое пространство M ₃ , состоящее из трёх точек, каждая из которых находится на расстоянии единицы от других. Комплекс Вьеториса — Рипса для M ₃ для ${\displaystyle \delta =1}$ включает симплекс для любого подмножества точек из M ₃ , включая сам треугольник M ₃ . Если мы вложим M ₃ как правильный треугольник в евклидову плоскость , то комплекс Чеха шаров радиуса 1/2 с центрами в точках M ₃ будет содержать все остальные симплексы комплекса Вьеториса — Рипса, но не будет содержать треугольник, поскольку нет точки на плоскости, принадлежащей всем трём шарам. Однако, если M ₃ вместо этого вложено в метрическое пространство, которое содержит четвёртую точку на расстоянии 1/2 от каждой точки M ₃ , комплекс Чеха для шаров радиуса 1/2 в этом пространстве будет содержать треугольник. Таким образом, комплекс Чеха для фиксированного радиуса шаров с центрами M ₃ зависит от пространства, в которое M ₃ может быть вложено, в то время как комплекс Вьеториса — Рипса остаётся неизменным

Если метрическое пространство X вложено в инъективное метрическое пространство Y , Комплекс Вьеториса — Рипса для расстояния ${\displaystyle \delta }$ и множества X совпадает с комплексом Чеха шаров радиуса ${\displaystyle \delta /2}$ , имеющих центры в точках X в Y . Таким образом, комплекс Вьеториса — Рипса любого метрического пространства M равен комплексу Чеха системы шаров в инъективной оболочке пространства M .

Связь с графами единичных кругов и кликовыми комплексами

Комплекс Вьеториса — Рипса для ${\displaystyle \delta =1}$ содержит ребро для любой пары точек, которые находятся на единичном или менее расстоянии в заданном метрическом пространстве. А тогда его — это граф единичных кругов его точек. Он содержит симплекс для любой клики в графе единичных кругов, так что он является флаговым комплексом (или кликовым комплексом) графа единичных кругов . Более обще, кликовый комплекс любого графа G является комплексом Вьеториса — Рипса для метрического пространства, имеющего в качестве точек вершины графа G и имеющего в качестве расстояния длины кратчайших путей в G.

Другие результаты

Если M — замкнутое риманово многообразие , то для достаточно малых значений ${\displaystyle \delta }$ комплекс Вьеториса — Рипса для M или пространства, достаточно близкие к M , гомотопически эквивалентны самому M .

Чамберс, Эриксон и Вора описали эффективные алгоритмы определения, стягивается ли данный цикл в комплексе Рипса любого конечного множества на евклидовой плоскости .

Приложения

Как и в случае единичных дисковых графов, комплекс Вьеториса — Рипса применяется в информатике для моделирования топологии беспроводных ad-hoc-сетей . Одним из преимуществ комплекса Вьеториса — Рипса в этом приложении является то, что он может быть задан исходя лишь из расстояний между взаимодействующими узлами без необходимости знания их физического местоположения. Недостатком является то, что в отличие от комплекса Чеха, комплекс Вьеториса — Рипса не обеспечивает непосредственно информацию о дырах в коммуникационном покрытии, но этот недостаток можно уменьшить путём размещения комплекса Чеха между двумя комплексами Вьеториса — Рипса для различных значений ${\displaystyle \delta }$ . Имплементацию комплексов Вьеториса — Рипса можно найти в R пакете TDAstats .

Комплексы Вьеториса — Рипса применяются также для выделения признаков в изображениях. В этом приложении комплекс строится в метрическом пространстве высокой размерности, в котором точки представляют признаки изображения низкого порядка .

Примечания

Литература