Теория амёб — раздел комплексного анализа , изучающий геометрию алгебраических множеств. Находит широкое применение в алгебраической и тропической геометрии.

Определения

Пусть ${\displaystyle V}$ — множество нулей полинома Лорана

${\displaystyle p(z)=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }z_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{\alpha _{n}},A\subset \mathbb {Z} ^{n},n\geqslant 1}$ .

Амёбой ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{V}}$ алгебраического множества ${\displaystyle V}$ называется его образ при логарифмическом проектировании

${\displaystyle \mathrm {Log} :(\mathbb {C} \setminus \{0\})^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ,

определяемом формулой ${\displaystyle \mathrm {Log} (z)=(\log |z_{1}|,\ldots ,\log |z_{n}|)}$ .

Коамёбой ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{V}^{*}}$ алгебраического множества ${\displaystyle V}$ называется его образ при отображении

${\displaystyle \mathrm {Arg} :(\mathbb {C} \setminus \{0\})^{n}\to S^{1}\times \ldots \times S^{1}}$ ,

определяемом формулой ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)=(\arg z_{1},\ldots ,\arg z_{n})}$ .

Свойства

Амёба и коамёба двойственные объекты — являются проекциями ${\displaystyle 2\pi i}$ -периодического множества ${\displaystyle \mathrm {Ln} V=\{\zeta :p(e^{\zeta _{1}},\ldots ,e^{\zeta _{n}})=0\}}$ на вещественное и мнимое подпространство. Теория амёб позволяет наглядно изучать геометрию гиперповерхностей и кривых, расположенных в 4-х и 6-и мерном пространстве ( ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ), что явилось причиной бурного развития теории в начале XXI века.

Компоненты дополнения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{V}}$ всегда выпуклы.

Примечания

1. (рус.) . Дата обращения: 14 января 2019. 15 января 2019 года.
2. (неопр.) . tbio.molpit.ru. Дата обращения: 14 января 2019. Архивировано из 15 января 2019 года.
3. Рогозина М. С. // Сибирский журнал науки и технологий. — 2013. — Вып. 3 (49) . — ISSN . 15 января 2019 года.

Ссылки

Значимость предмета статьи не очевидна из её текста . Текст, не основанный на вторичных авторитетных источниках, вероятно, содержит только тривиальные сведения и нуждается в тщательной проверке на отсутствие оригинального исследования . Однако существуют авторитетные источники , показывающие значимость (см. разделы , ). Вы можете помочь проекту, статью на основе этих источников, обеспечив тем самым её проверяемость .

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . Проверить достоверность указанной в статье информации. На должны быть пояснения. Оформить статью по правилам . Установить ссылки из других статей Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.