Многочлены Шура
— названные в честь
И. Шура
симметрические многочлены
от
переменных специального вида, параметризованные
разбиениями
неотрицательных целых чисел в сумму
неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое,
диаграммами Юнга
с не более, чем
столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями
характеров
соответствующих
представлений
симметрической группы
.
Формальное определение
Многочлен Шура, соответствующий разбиению
равен
-
Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены
и полные симметрические многочлены
:
-
, где
,
-
, где
- сопряжённое к
разбиение, а также
.
В частности,
и
.
Связь с представлениями симметрической группы
Многочлен Шура
, соответствующий диаграмме Юнга
, выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона
с коэффициентами, выражающимися через значения характера
, соответствующего
представления симметрической группы
. А именно,
-
где запись
означает, что в классе сопряжённости
в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется
циклов длины
.
Ссылки
-
А. Окуньков, Г. Ольшанский, «
»,
Алгебра и анализ
,
9
:2 (1997), 73-146