Перъединичная матрица ( обменная матрица ) — квадратная матрица, все элементы которой равны 1, а остальные — 0 (то есть антидиагональная единичная ):

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ ; ${\displaystyle J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$ ; ${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}}$ .

С помощью символа Кронекера можно записать определение элементов перъединичной матрицы как ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}}$ .

Является матрицей перестановки : она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

Некоторые свойства:

• ${\displaystyle J^{\intercal }=J}$ ;
• ${\displaystyle J^{n}=I}$ для чётных ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle J^{n}=J}$ для нечётных ${\displaystyle n}$ , то есть инволютивна — ${\displaystyle J^{-1}=J}$ ;
• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=1}$ для нечётных ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=0}$ для чётных ${\displaystyle n}$ ;
• ${\displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}}$ и ${\displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}}$ для произвольной ${\displaystyle (n\times n)}$ -матрицы ${\displaystyle A}$ ;
• ${\displaystyle \det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}$ .

Понятие перъединичной матрицы может использоваться для определения матриц, обладающих определёнными симметриями, например, квадратная матрица ${\displaystyle A}$ является:

• центросимметричной , если ${\displaystyle AJ=JA}$ ;
• персимметричной , если ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal }}$ ;
• бисимметричной , если одновременно ${\displaystyle AJ=JA^{\intercal }}$ и ${\displaystyle AJ=JA}$ .

Примечания

Литература

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Matrix Analysis (англ.) . — 2nd edition. — Cambridge University Press , 2012. — P. 33. — ISBN 9781139788885 .