Interested Article - Возведение в степень

Графики четырёх функций вида , указано рядом с графиком функции

Возведе́ние в сте́пень арифметическая операция , первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием и натуральным показателем обозначается как

где — количество множителей (умножаемых чисел) .

Например,

В языках программирования, где написание невозможно, применяются альтернативные обозначения .

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных , рациональных , вещественных и комплексных степеней .

Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени и показателя находит неизвестное основание . Вторая обратная операция — логарифмирование , она по известным значениям степени и основания находит неизвестный показатель . Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм ) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень , выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Употребление в устной речи

Запись обычно читается как « a в -й степени» или « a в степени n ». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры . В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда : вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a », «куб на a ». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали .

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в -ую степень, называется точной -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом .

Свойства

Основные свойства

Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел . Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени .

Запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае, Например, , а . В математике принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения [ какой? ] .

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря, , например, , но

Таблица натуральных степеней небольших чисел

n n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Расширения

Целая степень

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль ::

Результат не определён при и .

Рациональная степень

Возведение в рациональную степень где — целое число, а — натуральное, положительного числа определяется следующим образом :

.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

Для отрицательных степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Вещественная степень

Множество вещественных чисел непрерывное упорядоченное поле , обозначается . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума . Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где — положительное):

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши ), обозначенные как: и , то их степенью называют число , определённое степенью последовательностей и :

,

вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

Таким образом степенью вещественного числа является такое вещественное число которое содержится между всеми степенями вида с одной стороны и всеми степенями вида с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

Для отрицательных степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число в степень , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение степени берут степень указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и .

Пример возведения в степень , с точностью до 3-го знака после запятой:

  • Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
  • Получаем: ;
  • возводим в степень: ;
  • Округляем до 3-го знака после запятой: .

Полезные формулы:

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Комплексная степень

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме . Результат однозначен:

, ( формула Муавра ) .

Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):

.

Заменяя степени в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: , получим:

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента , где число Эйлера , — произвольное комплексное число .

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда , как и вещественную:

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для :

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса , и мы получили формулу Эйлера :

Общий случай , где — комплексные числа, определяется через представление в показательной форме : согласно определяющей формуле :

Здесь комплексный логарифм , — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция , так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно . Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество в степень Слева получится справа, очевидно, 1. В итоге: что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ), поэтому правило здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при и при

Степень как функция

Разновидности

Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

  • Функция переменной (при этом — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной . Обратная функция извлечение корня .
  • Функция переменной (при этом — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента ). Обратная функция — логарифм .
  • Функция двух переменных Отметим, что в точке эта функция имеет неустранимый разрыв . В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю.

Ноль в степени ноль

Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

можно записать короче:

Следует предостеречь, что соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

История

Обозначение

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, изображалось как Отред записывал следующим образом: (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок) . Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени ; например, у него означало . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм , они записывали в виде и соответственно .

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его « Геометрии » (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема , Шюке , Стевина , Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в « Универсальной арифметике », «вышли из моды» ( out of fashion ). Показательная функция , то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743) .

Запись возведения в степень в языках программирования

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки : « ** », используемые в языке Фортран . В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки : « » ( стрелки Кну́та ). В языке Бейсик предложен символ « ^ » (« циркумфлекс », он же « карет »), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте . Примеры:

3^2 = 9 ; 5^2 = 25 ; 2^3 = 8 ; 5^3 = 125 .

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность , в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel ) могут воспринимать запись a^b^c , как (a^b)^c , тогда как другие системы и языки (например, Haskell , Perl , Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c) , как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Во многих языках программирования (например, в Java , Си и Паскале ) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции .

Вариации и обобщения

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам , линейным операторам , множествам (относительно декартова произведения , см. декартова степень ).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде ( полугруппе с единицей) и определяется индуктивно для любого :

  • (где единица моноида).
  • , где
  • Если то определён только для обратимых элементов

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям , где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация .

Примечания

  1. Степень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1985. — Т. 5. — С. 221.
  2. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М. , 1959. — С. 165—167. — 456 с.
  3. , с. 140—141.
  4. , с. 182—184.
  5. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  6. Пискунов Н. С. . scask.ru . Дата обращения: 27 марта 2022.
  7. Близняков Н.М. . Учебно-методическое пособие для вузов 23. Дата обращения: 27 марта 2022. 1 апреля 2022 года.
  8. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М. : Наука, 1977. — С. 597 (подстрочное примечание 3). — 872 с.
  9. , §290—297.
  10. , §164.
  11. , с. 130—131.
  12. , §298—301, 307—309.
  13. David M. Bloom. (англ.) . — 1979. — P. . — ISBN 978-0-521-29324-2 .
Комментарии
  1. В разговорной речи иногда говорят, например, что — « a умноженное само на себя три раза», имея в виду, что берётся три множителя . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят « a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть См. Август Давидов. . — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с. 31 мая 2016 года. . Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение».
  2. Для целой степени.
  3. Для неотрицательной целой степени.
  4. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^ , реализованной только как последовательное умножение.
  5. Начиная с версии 5.6 (см. от 18 апреля 2018 на Wayback Machine ).
  6. Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  7. Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  8. В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x, y) .

Литература

  • Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб. : ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4 .
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Наука, 1978. — 509 с.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
  • // Большая советская энциклопедия . — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  • Cajori F. . — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Ссылки

  • . Дата обращения: 2 февраля 2020.
Источник —

Same as Возведение в степень