Субдифференциал функции f , заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E *.

Определение

Субдифференциалом ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ выпуклой функции ${\displaystyle f\colon E\rightarrow \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется множество , состоящее из всех линейных функционалов ${\displaystyle p\in E^{*}}$ , удовлетворяющих для всех ${\displaystyle x\in E}$ неравенству

${\displaystyle p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})}$ .

Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется субдифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , если множество ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ непусто.

Вектор ${\displaystyle p\in E^{*}}$ , принадлежащий субдифференциалу ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ , называется субградиентом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

Свойства

• ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ — выпуклое (возможно пустое) множество в ${\displaystyle E^{*}}$

Пусть f ₁ (x), f ₂ (x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ , тогда

• ${\displaystyle \partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{2}(x)\right)}$ , сумма понимается в смысле суммы Минковского .

• ${\displaystyle \partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)}$

• Если функция ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$ выпукла и непрерывна в точке ${\displaystyle x\in E}$ , то она субдифференцируема в этой точке ${\displaystyle x\in E}$ , то есть ${\displaystyle \partial f(x)\neq \varnothing }$ , и её субдифференциал ${\displaystyle \partial f(x)}$ является множеством компактным и выпуклым

• Пусть функция ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$ выпукла и конечна. В этом случае функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема по Гато в точке ${\displaystyle x_{0}\in E}$ тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}\right\}}$

• Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

• Если последовательность выпуклых функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится поточечно к выпуклой функции ${\displaystyle f}$ , то для любой сходящейся последовательности ${\displaystyle p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}}$ её предел ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n}}$ принадлежит субдифференциалу ${\displaystyle \partial _{x_{0}}f}$ .

Субдифференциал функции на одномерном интервале

Пример

Пусть ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ — вещественнозначная выпуклая функция, определённая на принадлежащем прямой открытом интервале . Такая функция может быть дифференцируема не во всех точках. Например, функция ${\displaystyle f(x)=|x|}$ недифференцируема при ${\displaystyle x=0}$ . Однако, как это можно видеть на графике, расположенном справа , для всякого ${\displaystyle x_{0}}$ из области определения через точку ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ может быть проведена прямая, которая либо касается графика функции ${\displaystyle f(x)}$ , либо располагается под этим графиком. Допустимые наклоны таких прямых образуют то, что именуется субдифференциалом .

Определение

Субпроизводная выпуклой функции ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ на открытом интервале ${\displaystyle I}$ — это вещественное число ${\displaystyle c}$ , такое, что

для всех ${\displaystyle x\in I}$ . По теореме, обратной теореме о среднем значении, для выпуклой функции множество субпроизводных в точке ${\displaystyle x_{0}}$ — непустой замкнутый промежуток ${\displaystyle [a,b]}$ , где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — односторонние пределы Множество ${\displaystyle [a,b]}$ всех субпроизводных называют субдифференциалом функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ . Субдифференциал обозначают ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ . Если функция ${\displaystyle f}$ выпукла, то её субдифференциал в любой точке не пуст. Более того, если её субдифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$ содержит ровно одну субпроизводную,, то ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$ и функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

Примечания

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М. : Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3 .
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .