Метод Гамильтона — Якоби сводит задачу нахождения экстремалей (или задачу интегрирования гамильтоновой системы уравнений) к интегрированию уравнения в частных производных первого порядка — так называемого уравнения Гамильтона — Якоби . Основы теории Гамильтона-Якоби были разработаны Гамильтоном в 1820-х годах для задач волновой оптики и геометрической оптики. В 1834 году Гамильтон распространил свои идеи на проблемы динамики, и Якоби (1837) применил метод к общим задачам классического вариационного исчисления .

Начальные точки теории Гамильтона-Якоби были установлены в 17 веке Ферма и Гюйгенсом, которые использовали для этой цели предмет геометрической оптики (см. Принцип Ферма ; принцип Гюйгенса ).

Алгоритм

Рассмотрим шаги Гамильтона и проблему распространения света в неоднородной (но для простоты, изотропной) среде, где ${\displaystyle v(x)}$ — локальная скорость света в точке ${\displaystyle x}$ .

Согласно принципу Ферма, свет распространяется от точки к точке в неоднородной среде в кратчайшие сроки. Пусть ${\displaystyle x_{0}\in E}$ будет начальной точкой, и пусть ${\displaystyle W(x)}$ будет кратчайшим возможным временем, когда свет пройдет расстояние от ${\displaystyle x_{0}}$ > до ${\displaystyle x}$ Функция ${\displaystyle W(x)}$ известна как эйконал или оптическая длина пути. Предполагается, что за короткое время ${\displaystyle dt}$ свет проходит от точки ${\displaystyle x}$ до точки ${\displaystyle x+dx}$ . Согласно принципу Гюйгенса, свет будет распространяться, кроме малых величин более высокого порядка, по нормали к поверхности уровня функции ${\displaystyle W(x)}$ . Таким образом, выполняется уравнение :

${\displaystyle W\left(x+{\frac {W'(x)}{|W'(x)|}}v(x)dt\right)=W(x)+dt+o(dt)}$ .

И уравнение Гамильтона-Якоби для задач геометрической оптики имеет вид:

${\displaystyle |W'(x)|^{2}={\frac {1}{v^{2}(x)}}\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial W(x)}{\partial x_{i})}}\right)^{2}={\frac {1}{v^{2}(x)}}}$ .

В аналитической механике роль принципа Ферма играет вариационный , а роль эйконала играет функционал действия, то есть интеграл:

${\displaystyle S(t,x)=\int _{\gamma }Ldt}$ , (1)

вдоль траектории γ, соединяющей данную точку ${\displaystyle (t_{0},x_{0})}$ с точкой ${\displaystyle (t,x)}$ , где находится функция Лагранжа механической системы, ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ .

Якоби предложил использовать функцию, напоминающую функционал действия (1), при решении всех задач классического вариационного исчисления. Экстремалы задачи ${\displaystyle \int Ldt\rightarrow inf}$ , выходящей из точки ${\displaystyle (t_{0},x_{0})}$ , пересекают поверхность уровня основной функции трансверсально (см. условие трансверсальности ). Форма дифференциала функционала действия:

${\displaystyle dS=(p|dx)-Hdt}$

выводится из этого условия. Здесь ${\displaystyle p=L_{x}}$ и ${\displaystyle H=px-L}$ — функции Гамильтона (см. также преобразование Лежандра ).

Последнее упомянутое соотношение дает следующее уравнение для функции S :

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}\right)=0}$ . (2)

Это уравнение Гамильтона — Якоби .

Наиболее важным результатом теории Гамильтона — Якоби является теорема Якоби, которая утверждает, что полный интеграл уравнения (2), то есть решение ${\displaystyle S(t,x,\alpha )}$ этого уравнения, которое будет зависеть от параметров ${\displaystyle \alpha =(\alpha ,...,\alpha )}$ (при условии, что ${\displaystyle det\left|{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial \alpha }}\right|\neq 0)}$ , позволяет получить полный интеграл уравнения для функционала Эйлера (1) или, что то же самое, гамильтоновой системы, связанной с этим функционалом формулами ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x}}=p}$ , ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha }}=\beta }$ . Применение теоремы Якоби к интегрированию гамильтоновых систем обычно основано на методе разделения переменных в специальных координатах.

Применение

Несмотря на то, что интегрирование уравнений в частных производных обычно сложнее, чем решение обыкновенных уравнений, теория Гамильтона-Якоби оказалась мощным инструментом в изучении проблем оптики, механики и геометрии. Суть принципа Гюйгенса была использована Беллманом при решении задач оптимального управления. См. также .

Комментарии

В оптимальном управлении уравнение Гамильтона-Якоби имеет, например, форму:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+H\left(t,x,{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=0,V(t,x)=\phi (t_{1},x),t_{0}\leqslant t\leqslant t_{1}}$ ,

где

${\displaystyle H(t,x,{\frac {\partial V}{\partial x}})=min\left\{\left({\frac {\partial V}{\partial x}},f(t,x,u)\right)+f^{0}(t,x,u):u\in U\right\}}$ .

См., например, оптимальное управление синтезом. В этом случае его часто называют уравнением Беллмана (особенно в технической литературе) или уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана . Существует также версия для оптимального стохастического управления, см. [slovar.wikireading.ru/2700830 управляемый случайный процесс] . Поскольку классические решения уравнения Гамильтона-Якоби часто не существуют, возникает необходимость рассмотреть различные виды обобщённых решений, таких как .

Примечания

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым). Список проблемных ссылок slovar.wikireading.ru