Функция Фаддеевой — это комплексная функция ошибок от комплексного аргумента

${\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}$

Функция Фаддеевой связана с функцией Доусона , профилем Фойгта , интегралом Френеля и появляется в различных физических задачах при описании электромагнитных взаимодействий в средах. Функция впервые была описана и затабулирована в статье В. Н. Фаддеевой и Н. М. Терентьева .

Cвойства

Действительная и мнимая части

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают как

${\displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)}$ ,

где V и L иногда называются действительной и мнимой функциями Фойгта , поскольку V(x, y) с точностью до фактора является профилем Фойгта . Если рассматривать V(x, y) как профиль поглощения спектральной линии, то L(x, y) является соответствующей ей дисперсионной кривой.

Чётность

При изменении знака аргумента, функция Фаддеевой может быть записана как

${\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}$

или

${\displaystyle w(-z)=w(z^{*})^{*}}$ ,

где * означает комплексное сопряжение.

Интегральное представление

Функция Фаддеевой может быть представлена в виде

${\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}dt={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}dt,\qquad \operatorname {Im} z>0}$ ,

то есть как свёртка Гауссовой функции и комплексного лоренцевского профиля .

Примечания

Литература

• В. Н. Фаддеева, Н. М. Терентьев (1954), Таблицы значений функции w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) от комплексного аргумента Под ред. акад. В. А. Фока. , (Математические таблицы/ Акад. наук СССР. Матем. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние; Вып. 3), Москва: Гостехиздат

Вычислительные ресурсы

• Численная библиотека на C для вычисления комплексных функций ошибок содержит в частности функцию w_of_z(z) (с точностью не хуже 13 знаков), которая также используется для вычислений многих других функций в библиотеке.