Вариационный принцип Пфаффа — принцип, согласно которому вариация интеграла линейной функции от производных по времени должна быть равна нулю. Имеет важное значение в теории динамических систем.

Рассмотрим ${\displaystyle 2m}$ функций ${\displaystyle X_{j}(x_{1},...,x_{2m})}$ от ${\displaystyle 2m}$ переменных ${\displaystyle x_{1},...,x_{2m}}$ и функцию ${\displaystyle Z(x_{1},...,x_{2m})}$ от тех же переменных, ${\displaystyle {\dot {x}}_{j}}$ означает производную по времени переменной ${\displaystyle x_{j}}$ . Вариационный принцип Пфаффа требует, чтобы вариация интеграла от линейной функции от производных ${\displaystyle {\dot {x}}_{j}}$ с коэффициентами ${\displaystyle X_{j},Z}$ была равна нулю:

${\displaystyle \delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum _{j=1}^{2m}X_{j}(x_{1},...,x_{2m}){\dot {x}}_{j}+Z(x_{1},...,x_{2m})\right]dt=0}$

Для того, чтобы вариационный принцип Пфаффа выполнялся, необходимо и достаточно, чтобы функции ${\displaystyle X_{j},Z}$ удовлетворяли системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка ${\displaystyle 2m}$ ( уравнения Пфаффа ):

${\displaystyle \sum _{j=1}^{2m}\left({\frac {\partial X_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {\partial Z}{\partial x_{i}}}=0,(i=1,...,2m)}$

Уравнения Гамильтона могут быть получены, исходя из частного случая вариационного принципа Пфаффа:

${\displaystyle \delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum _{j=1}^{m}P_{j}{\dot {Q}}_{j}-H\right]dt=0}$

См. также

• Принцип наименьшего действия

Примечания

Литература

• Эльсгольц Л. Э. . — М. : Книга по Требованию, 2012. — 424 с.
• Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. — М. : ОГИЗ Гостехтеориздат, 1941. — 320 с.
• Биркгоф Дж. Д. . — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. — 408 с. — ISBN 5-7029-0356-0 .