Расстояние Гарнака — функция от двух комплексных чисел заданной области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} _{\infty }}$ , наименьшее действительное число ${\displaystyle \tau _{D}(z,w)}$ , такое что для каждой положительной гармонической функции ${\displaystyle h}$ над ${\displaystyle D}$ выполнены неравенства:

${\displaystyle \tau _{D}(z,w)^{-1}h(w)\leqslant h(z)\leqslant \tau _{D}(z,w)h(w)}$ .

Существование такой функции следует из неравенства Гарнака . Введено немецким математиком Акселем Гарнаком ; широко используется в комплексном анализе в вопросах, связанных с гармоническими функциями , применяется для решения задачи Дирихле .

Несмотря на название, не является функцией расстояния в строгом смысле; при этом функция ${\displaystyle \log \tau _{D}}$ является непрерывной псевдометрикой .

Принцип субординации: для мероморфного преобразования ${\displaystyle f:D_{1}\to D_{2}}$ между областями ${\displaystyle D_{1}}$ и ${\displaystyle D_{2}}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} _{\infty }}$ и любых ${\displaystyle z,w\in D_{1}}$ имеет место:

${\displaystyle \tau _{D_{2}}(f(z),f(w))\leqslant \tau _{D_{1}}(z,w)}$ ,

причём равенство достигается только если ${\displaystyle f}$ является конформным отображением . В частности, из этого следует, что если ${\displaystyle D_{1}\subset D_{2}}$ , то ${\displaystyle \tau _{D_{2}}(z,w)\leqslant \tau _{D_{1}}(z,w)}$ .

Например, для открытого круга ${\displaystyle \Delta =\Delta (w,\rho )}$ с центром в ${\displaystyle w}$ и радиусом ${\displaystyle \rho }$ и любого ${\displaystyle z\in \Delta }$ :

${\displaystyle \tau _{\Delta }(z,w)={\frac {\rho +|z-w|}{\rho -|z-w|}}}$ .

Литература

• Thomas Ransford. Potential Theory in the Complex Plane. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0521-46120-0 .

• Johannes Köhn. // Mathematische Zeitschrift. — 1966. — С. 50—64 .