Теоре́ма Гу́рвица — утверждение в комплексном анализе, которое описывает связь нулей голоморфной функции с нулями последовательности.

Используется в доказательстве важной теоремы Римана об отображении .

Утверждение теоремы

Пусть последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ , голоморфных в области ${\displaystyle D}$ , сходится в топологии ${\displaystyle O(D)}$ (то есть равномерно на компактах в ${\displaystyle D}$ ) к функции ${\displaystyle f\neq {\text{const}}}$ . Если точка ${\displaystyle z_{0}\in D}$ является нулем функции ${\displaystyle f}$ , то есть ${\displaystyle f(z_{0})=0}$ , то в любом круге ${\displaystyle \{z:|z-z_{0}|<r\}\subset D}$ все функции ${\displaystyle f_{n}}$ , начиная с некоторой, также имеют нуль.

Доказательство

По теореме Вейерштрасса предельная функция ${\displaystyle f}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ . Поскольку достаточно доказать теорему лишь для достаточно малых кругов с центром ${\displaystyle z_{0}}$ , мы можем считать, что круг ${\displaystyle U=\{z:|z-z_{0}|\leq r\}}$ принадлежит ${\displaystyle D}$ , а в ${\displaystyle U}$ нет других нулей ${\displaystyle f}$ , кроме ${\displaystyle z_{0}}$ .

Положим ${\displaystyle f_{\ast }=\min _{z\in \partial U}|f(z)|}$ , что больше нуля по построению. Из равномерной сходимости последовательности ${\displaystyle f_{n}}$ на ${\displaystyle \partial U}$ вытекает, что начиная с некоторого номера выполняется оценка ${\displaystyle |f_{n}(z)-f(z)|<f_{\ast }}$ для всех ${\displaystyle z\in \partial U}$ . Тогда по теореме Руше функция ${\displaystyle f_{n}(z)=f(z)+[f_{n}(z)-f(z)]}$ имеет в ${\displaystyle U}$ столько же нулей, сколько и ${\displaystyle f}$ , то есть по крайней мере один.

Литература

• Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Würzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Math. Ann. , 46 (1895) pp. 273—284.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. — М.: Наука . — С. 225.