Interested Article - Теорема Гурвица (комплексный анализ)

Теоре́ма Гу́рвица — утверждение в комплексном анализе, которое описывает связь нулей голоморфной функции с нулями последовательности.

Используется в доказательстве важной теоремы Римана об отображении .

Утверждение теоремы

Пусть последовательность функций , голоморфных в области , сходится в топологии (то есть равномерно на компактах в ) к функции . Если точка является нулем функции , то есть , то в любом круге все функции , начиная с некоторой, также имеют нуль.

Доказательство

По теореме Вейерштрасса предельная функция голоморфна в . Поскольку достаточно доказать теорему лишь для достаточно малых кругов с центром , мы можем считать, что круг принадлежит , а в нет других нулей , кроме .

Положим , что больше нуля по построению. Из равномерной сходимости последовательности на вытекает, что начиная с некоторого номера выполняется оценка для всех . Тогда по теореме Руше функция имеет в столько же нулей, сколько и , то есть по крайней мере один.

Литература

  • Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Würzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Math. Ann. , 46 (1895) pp. 273—284.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. — М.: Наука . — С. 225.
Источник —

Same as Теорема Гурвица (комплексный анализ)