Уравнения Беккера-Дёринга ( англ. Becker-Döring Equations ) — уравнения, моделирующие динамику коагуляции и фрагментации кластеров идентичных частиц, разработаны в 1935 году немецкими учёными Беккером и Дёрингом . Пишутся в предположении о молекулярном механизме изменения агрегационного числа (то есть, числа молекул в зародыше) ${\displaystyle n}$ и описывают эволюцию концентраций зародышей ${\displaystyle {c_{n}}}$ во времени. В частности, уравнения Беккера-Дёринга широко используются при описании кинетики мицеллярных систем .

Молекулярный механизм

Ограничимся рассмотрением неионного однокомпонентного ПАВ . Обозначая через ${\displaystyle \{n\}}$ зародыш, состоящий из ${\displaystyle n}$ молекул ПАВ можем рассматривать такой механизм прямых и обратных переходов:

${\displaystyle \{n\}+\{1\}{\overset {b_{n+1}}{\underset {{a_{n}}{c_{1}}}{\leftrightarrows }}}\{n+1\}\quad n=1,2,...,}$

где ${\displaystyle {a_{n}}{c_{1}}}$ - число мономеров ПАВ, поглощаемых агрегатом ${\displaystyle \{n\}}$ за единицу времени (величины ${\displaystyle {a_{n}}}$ могут быть названы скоростями присоединения мономеров), ${\displaystyle {b_{n+1}}}$ – число мономеров ПАВ, испускаемых агрегатом ${\displaystyle \{n+1\}}$ в раствор за единицу времени.

Уравнения

Уравнения Беккера-Дёринга для концентраций зародышей имеют вид:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {c_{n}}}{\partial t}}=-\left({{J_{n}}-{J_{n-1}}}\right)\quad n=2,3,...,\\{\frac {\partial {c_{1}}}{\partial t}}=-{J_{1}}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{J_{k}},\end{array}}}$

где ${\displaystyle {J_{n}}}$ — потоки вдоль оси чисел агрегации:

${\displaystyle {J_{n}}={a_{n}}{c_{1}}{c_{n}}-{b_{n+1}}{c_{n+1}}.}$

См. также

• Кинетическое уравнение Больцмана

Литература

• Slemrod M. (2000) The Becker-Döring Equations. In: Bellomo N., Pulvirenti M. (eds) Modeling in Applied Sciences. Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. Birkhäuser, Boston, MA.
• Ball, J.M., Carr, J. & Penrose, O. Commun.Math. Phys. (1986) 104: 657. .
• Asymptotic behaviour of solutions to the Becker-Döring equations for arbitrary initial data. Ball, J. M.Carr, J. //Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics 1988.

Примечания