Первая теорема о среднем значении
— одна из теорем об
определённом интеграле
.
Формулировка
Пусть функция
интегрируема на отрезке
, и ограничена на нём числами
и
так, что
.
Тогда существует такое число
,
, что
-
.
Доказательство
Из неравенства
по свойству
монотонности интеграла
имеем
-
.
Обозначив
, получим требуемое утверждение.
Так определённое число
называют
средним значением
функции
на отрезке
, откуда и название теоремы.
Замечание
Если функция
непрерывна
на
, то в качестве
и
можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по
теореме Вейерштрасса
, достигаются),
тогда по
теореме о промежуточном значении
существует такая точка
, что
,
поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде
-
.
Если воспользоваться
формулой Ньютона-Лейбница
, то это равенство запишется как
-
,
где
—
первообразная
функции
, что есть не что иное, как
формула Лагранжа
для функции
.
Обобщение
Пусть функции
и
интегрируемы на отрезке
, причём по-прежнему
,
а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна:
, либо всюду неположительна
).
Тогда существует такое число
,
, что
-
.
Доказательство
Пусть
неотрицательна, тогда имеем
-
,
откуда, ввиду монотонности интеграла
-
.
Если
, то из этого неравенства следует, что
,
и утверждение теоремы выполняется при любом
.
В противном случае положим
-
.
Обобщение доказано. Если функция
непрерывна, можно утверждать, что существует точка
такая, что
-
(аналогично предыдущему).
Литература
-
Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления. —
М.
: Наука, 1969. — Т. II.
-
Зорич В. А.
Математический анализ. Ч. I. —
М.
: Наука, 1981.